第01章章末温习课重点练一、单选题1．已知++=,||=2,||=3,||=4,则向量与之间的夹角,为（）A．30°B．45°C．60°D．以上都不对2．如图,空间四边形中,,且,,则（）A．B．C．D．3．在棱长为2的正方体中,,分别为棱、的中点,为棱上的一点,且,设点为的中点,则点到平面的距离为（）A．B．C．D．4．在三棱柱中,是棱上的点（不包括端点）,记直线与直线所成的角为,直线与平面所成的角为,二面角的平面角为,则（）A．B．C．D．二、填空题5．如图,在四面体中,,.若为线段上的动点（不包含端点）,则二面角的余弦值取值范围是__________．6．已知正方体的棱长为,点E,F,G分别为棱AB,,的中点,下列结论中,正确结论的序号是___________.①过E,F,G三点作正方体的截面,所得截面为正六边形；②平面EFG；③平面；④异面直线EF与所成角的正切值为；⑤四面体的体积等于.三、解答题7．如图所示,四边形ABCD是边长为3的正方形,平面ABCD,,,BE与平面ABCD所成角为．（1）求证：平面BDE；（2）求二面角的余弦值；（3）设点是线段BD上的一个动点,试确定点的位置,使得平面BEF,并证明你的结论．2参考参考答案1．【参考答案】D【解析】∵++=,||=2,||=3,||=4,∴以这三个向量首尾相连组成△ABC；令=,=,=,则△ABC三边之长分别为BC=2,CA=3,AB=4；由余弦定理,得：cos∠BCA===﹣,又向量和是首尾相连,∴这两个向量的夹角是180°﹣∠BCA,∴cos＜,＞=,即向量与之间的夹角,不是特殊角．故选D．2．【参考答案】C【解析】因为,又因为,所以.故选C3．【参考答案】D【解析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,则M（2,λ,2）,D1（0,0,2）,E（2,0,1）,F（2,2,1）,＝（﹣2,0,1）,＝（0,2,0）,＝（0,λ,1）,设平面D1EF的法向量＝（x,y,z）,则,取x＝1,得＝（1,0,2）,3∴点M到平面D1EF的距离为：d＝,N为EM中点,所以N到该面的距离为,故选D．4．【参考答案】D【解析】设三棱柱是棱长为的正三棱柱,是棱的中点,以为原点,在平面中,过作的垂线为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,直线与直线所成的角为,,直线与平面所成的角为,平面的法向量,4,,设平面的法向量,则,取,得,二面角的平面角为,,,故选D5．【参考答案】【解析】以AB的中点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,则,则,令,所以平面的一个法向量为,所以,因为,所以,所以,所以,即二面角的余弦值的取值范围是.5故填6．【参考答案】①③④【解析】延长EF分别与,的延长线交于N,Q,连接GN交于H,设HG与的延长线交于P,连接PQ交于,交BC于M,连FH,HG,GI,IM,ME,,如图:则截面六边形EFHGIM为正六边形,故①正确：因为与HG相交,故与平面EFG相交,所以②不正确：(三垂线定理),(三垂线定理),且AC与相交,所以平面,故③正确；以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,则,则,,6所以,所以,所以,所以异面直线EF与的夹角的正切值为,故④正确；因为四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,即为,故⑤不正确．故填①③④7．【参考答案】（1）见解析（2）（3）M的坐标为(2,2,0),见解析【解析】（1）证明：∵平面,平面,,∴,又∵是正方形,∴,,∵,∴平面．（2）,,两两垂直,所以建立如图空间直角坐标系,∵与平面所成角为,即,而,由,可知：,∴．则,,,,,7∴,,设平面的法向量为,则,即,令,则．因为平面,所以为平面的法向量,∵,所以．因为二面角为锐角,故二面角的余弦值为．（3）依题意得,设,则,∵平面,∴,即,解得：,∴点的坐标为,此时,∴点是线段靠近点的三等分点．知识改变命运8