第四章微分学的应用一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.（二）内容提要1.三个微分中值定理⑴罗尔（Rolle）定理y?f(x)满足下列三个条件：如果函数[a,b]上连续①在闭区间;(a,b)内可导②在开区间;f(a)?f(b),③???)?(,b),f0?(a.则至少存在一点使⑵拉格朗日（Lagrange）中值定理y?f(x)满足下列两个条件：如果函数[a,b]上连续；①在闭区间(a,b)内可导②在开区间,f(b)?f(a)?????,()f?)(b?a)f)(,?(ab)?bf()fa?(.，使得则至少存在一点或b?a⑶Cauchy）中值定理柯西（)x)(fxg(与如果函数满足下列两个条件：],ba[①在闭区间上连续；?),ba(?,0?x(g)x)(ba,,②在开区间内可导，且?),a(b内至少存在一点则在，使得1??)(a)ff(b)?f(?.??))g(b)?g(ag(洛必达法则2.如果0?(x))?0,limglimf(x;①xxx?x?00?xx0)x)g?(f(x)g(x在与可除外）可导，且某个邻域内（点②函数；00?)(xf)??或,也可为?,??lim?A(A为有限数,则③?)gx(xx?0?)((x)fxfAlim??lim.?)(x(x)ggxx?x?x00?0xx???x??x时的型未定式同样适用,时的对于注意上述定理对于或00?.型未定式也有相应的法则函数的单调性定理3.]b)[a,f(x)b(a,上连续，在开区间在闭区间设函数内可导，则有?]b[a,)?0f(xf)(x)ba,(在①若在上单调增加；内，则函数?]a,b0f(x)[f(x)?)(a,b.内，则函数②若在上单调减少在4.函数的极值、极值点与驻点x)(xf的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点设函数在点⑴极值的定义0)(x(x)?fx(x?x)f)(xf)(xf；如果对于该邻域内任的极大值，则称，都有是函数000)xx(x?)x)f(ff(x)?(x)xf(.是函数的一点，都有极小值，则称000x)f(x极称为函数函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点的0.值点?x)x?0(ffx().驻点的点的称为函数使⑵驻点xx)(xf那么取得在极值，处设极⑶值的必要条件函数可导，且在点处00?0?f(x).0⑷极值第一充分条件xxxx)f(x在该邻域设函数的某一去心邻域内的任一点在点连续，在点处可导,当002x时，如果内由小增大经过0?xf(x)f(xf(x)f)(x)的极大值；①是由正变负，那么的极大值点，是00?xf(x)f(f(x)fx(x))的极小值；的极小值点，是是由负变正，那么②00?xf()xf)(x的极值点③不改变符号，那么.不是0⑸极值的第二充分条件????????f0xxx0?fxf(x)f(x)的是函数处有二阶导数，且，，则在点设函数0000f(x)f(x)的极值，且有为函数极值点，0??(x)f?0x)xf(处取得极大值；①如果，则在点00??(x)f?0x)(xf处取得极小值在点.，则②如果005.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.6.函数图形的凹、凸与拐点y?f(x))a(,b各点的切线都位于该曲线的下方，内曲线若在区间⑴曲线凹向定义y?f(x))(a,b各点的切线都内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）；若曲线则称此曲线在(a,b)内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.位于曲线的上方，则称此曲线在(a,b)内具有二阶导数，⑵曲线凹向判定定理设函数在区间??y?f(x)(a,(a,b)b)0?(fx)内是上凹的.，则曲线内①如果在区间在??(x)f?0y?f(x)(a,b(a,b))内是下凹的在，则曲线内②如果在区间.y?f(x)P),yP(x是则称点⑶拐点若连续曲线凸部分的分界点，上的点是曲线凹、00y?f(x)的拐点曲线.7.曲线的渐近线x?????xbb)?f(x??x?为常数）时，有)或⑴水平渐近线若当（，(或y?b)f(xy?.则称曲线有水平渐近线?x?af(x)??aax??，则为常数）时，有或)或若当⑵垂直渐近线（(a?xx?a)xfy?(.称曲线有垂直渐近线3)xf(?bax](x)?lim[f)xy?f(lim?a，⑶斜渐近线若函数(满足其中自变量的变??xx??x??x???x??x?)(xy?f线曲，则可同时换成称线渐或化过程近有斜)...