浅谈矩阵对角化内容摘要:本文对矩阵对角化做了一些概括和分析，并结合几个典型的应用实例列举了对角化矩阵的应用，反映出可对角化矩阵在某些问题的研究中所起的重要作用。关键词:线性代数;矩阵;对角化;应用中图分类号:013文献标识码:A线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性和逻辑性，是高等学校工科各专业的一门重要的基础理论课,它对培养一个人的逻辑思维能力、抽象思维能力、计算能力、推理能力都起着非常重要的作用。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个領域,而某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，因此线性代数中的矩阵所介绍的思想和方法广泛应用于各个学科，尤其在计算机日益普及的今天。一、矩阵的对角化在“线性代数”中，我们知道根据方阵A的多项式f(A)=O,往往可以较容易地求得A的特征值取值范围，但A的每个特征值的重数,A是否可以对角化却不得而知例如A2=A，A特征值的取值范围为0,1;我们可以证明A可以对角化;同样A2=E,A特征值的取值范围为1、-1;A也可以对角化。但A2=0,A其0时,A的特征值均为0，A却不能对角化。本文将给出f(A)=0时，A可以对角化的一个充分条件。为了叙述方便起见，下面先给出两个著名的关于的矩阵秩的结论作为引理。引理1:设A，B均为n阶方阵，则:秩(A+B)<秩(A)+秩(B)引理2:(Sylvester公式)设A，B均为n阶方阵，则：秩(A)+秩(B)彡n+秩(AB)从线性代数原理我们可以得到很多关于Sylvester定理的证明方法。反复应用Sylvester定理，进一步可证得Sylvester定理更一般的形式，即引理3:设A1，A2…As均为n阶方阵，则：秩(As)<(n-l)n+秩(Al,A2"*As)命题1:设A为n阶方阵、A2=A、则A可以对角化。命题2:设A为n阶方阵，A2=E，则A可以对角化。可得到下面2个结论。设A为n阶方阵，入1乒入2,且(A-入1E)(A-入2E)=0,秩(Al)+秩(A2)则A可以对角化。设A为n阶方阵,人1人2…入s两两互不相等，使得:(A-入1E)(A-入2E)…(A-入sE)=O则A可以对角化。例1:设n阶方阵A满足A3-5A2+6A=0、则A可以对角化;并且秩(A)+秩(A-2E)+秩(A-3E>=2n证明:由A3-5A2+6A=0可得A(A-2E)(A-3E)=0从而可知:A可以对角化;并且秩(A)+秩(A-2E)+秩(A-3E)=2n另外还有一种方式,即在可对角化的前提下要确定矩阵所相似的对角矩阵，关键是确定其特征值及其重数。若，即入=0是A的n-1重特征值,入=0Tct是A的单非零特征值。此时A满足定理条件，故A相似于对角矩阵,其中0的个数为n-1个。类似地，若n阶矩阵A的秩r(A)=n-l(n》3),则r(A*)=l,于是当All+A22+*”Ann=0时,A*有n重特征值0,其对应的线性无关特征向量取为A的n-1个线性无关的列向量1—n-1,故A*没有n个线性无关的特征向量，因此A*不能对角化。而当A11+A22+…+Ann类0时、A*有n-1重特征值0及单非零特征值A11+A22+…+Ann关0、此时A*满足定理条件、所以A*相似于对角矩阵diag(0，.",0,All+A22+."+Ann)，其中0的个数为n-1个。二、对角化矩阵的应用可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上都有着十分重要的意义，例如求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面都有应用。下文笔者结合实际问题的应用实例。例2:有甲、乙两个地区，甲地每年有30%的人迁入乙地，乙地每年有20%的人迁入甲地，设甲地人口60万，乙地人口40万，且两地区总人口保持不变、问5年后甲地及乙地人口分别是多少?经过很长时间后，两地人口的分布是否会趋于一个“稳定状态”？解:第一年后、甲地人口0.7X60+0.2X40=50;乙地人口0.3X60+0.8X40=50我们可以把上面的计算写成矩阵的乘积，即，记那么第5年后两地人口可由A5x给出，为计算出A5,我们先将A对角化，矩阵A的特征值为1和1/2,它们对应的特征向量分别为［2,3］T和［1,-1］T令，则，可得所以，5年后甲地有40.625万人、乙地有59.375万人。n年后两地人口由Anx给出、为得到经过很长时间后的人口分布情况，我们取n->oo时的极限，因此，经过很长时间后，两地人口的分布会趋于稳定，且甲地有40万人,乙地有60万人。参考文献：［1］晏玲莉.在《线性代数》课中补充应用题的体会［J］.工科数学,1993,9(2):71-72［2］张圣梅.线性代数方法在初等数学中的应...