第2课时直线的极坐标方程学习目标1.掌握直线的极坐标方程.2.能熟练进行曲线的极坐标方程和直角坐标方程间的互化.3.能用极坐标方程解决相关问题．知识点直线的极坐标方程思考1直线l的极坐标方程f(ρ，θ)＝0应该有什么要求？答案①直线l上任意一点M至少有一个极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0；②以f(ρ，θ)＝0的解为坐标的点都在直线l上．思考2过极点O且倾斜角θ＝的直线的极坐标方程是什么？答案θ＝(ρ∈R)．梳理直线的极坐标方程(ρ∈R)直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为α(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a,0)，且与极轴垂直ρcosθ＝a过点，且与极轴平行ρsinθ＝a(0<θ<π)类型一求直线的极坐标方程例1在极坐标系中，求过点(3，π)且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程．解令A(3，π)，设直线上任意一点P(ρ，θ)，在△OAP中，∠APO＝θ－，由正弦定理＝，得ρsin＝.又因为点A(3，π)适合上式，故所求直线的极坐标方程为ρsin＝.引申探究在本例条件下，若倾斜角改为，求直线的极坐标方程．解设P(ρ，θ)为直线上的任意一点，在△AOP中，ρcos(π－θ)＝3，∴ρcosθ＝－3.又点A(3，π)适合ρcosθ＝－3，∴直线的方程为ρcosθ＝－3.反思与感悟(1)求直线的极坐标方程的一般方法设出直线上的任意一点(ρ，θ)，利用三角形中的定理，如正弦定理、余弦定理等列出ρ，θ的关系式，即为直线的极坐标方程．(2)求直线的极坐标方程的注意事项①当ρ≥0时，直线上的点的极角不是常量，所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程，所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程惟一且简便；②当规定了“负极径”的意义，即ρ∈R时，直线的极坐标方程就是惟一的了．跟踪训练1在极坐标系中，直线l经过点M，且该直线与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程．解方法一设P(ρ，θ)是直线上除M点外任意一点，则在△OPM中，|OP|＝ρ，∠POM＝－θ或θ－，∠OPM＝θ－或－θ，∠OMP＝或.由正弦定理，有＝，即＝. sin＝sin＝sin，∴ρsin＝，又M满足该式，∴直线l的极坐标方程为ρsin＝.方法二以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则点M的直角坐标为(0,3)．过点M且倾斜角为的直线l的直角坐标方程为y＝x＋3.由直角坐标与极坐标的互化公式得直线l的极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ＋3，即ρ(sinθ－cosθ)＝3.类型二直线的直角坐标方程与极坐标方程的互化例2把下列方程极、直互化．(1)θ＝；(2)y＝2x；(3)ρsin＝.解(1) θ＝，∴tanθ＝，即tanθ＝＝(x≠0)，∴y＝x(x≠0)．又点(0,0)适合方程y＝x，∴θ＝的直角坐标方程为y＝x.(2) y＝2x，∴ρsinθ＝2ρcosθ，∴tanθ＝2，极点(0,0)也适合tanθ＝2，∴y＝2x的极坐标方程为tanθ＝2.(3) ρsin＝，∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，∴x＋y－1＝0.反思与感悟把极坐标方程化为直角坐标方程时，通常要进行配凑．(1)通常要用ρ去乘方程的两边，使之出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ的形式．(2)常取tanθ，方程用公式tanθ＝(x≠0)．关键要注意变形的等价性．跟踪训练2把下列方程进行极、直互化．(1)2x＋y＋1＝0；(2)y＝－x；(3)θ＝α.解(1)由得2x＋y＋1＝0的极坐标方程为ρ(2cosθ＋sinθ)＋1＝0.(2)由得ρsinθ＝－ρcosθ，∴tanθ＝－，∴θ＝.(3)当α＝时，θ＝α的直角坐标方程为x＝0，当α≠时，由θ＝α，得tanθ＝tanα，∴＝tanα，即y＝tanα·x，原点(0,0)也适合y＝tanα·x，∴θ＝α的直角坐标方程为y＝tanα·x.类型三直线的极坐标方程的应用例3在极坐标系中，直线l的方程是ρsin＝1，求点P到直线l的距离．解点P的直角坐标为(，－1)．直线l：ρsin＝1可化为ρsinθ·cos－ρcosθ·sin＝1，即直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.∴点P(，－1)到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝＋1.故点P到直线ρsin＝1的距离为＋1.反思与感悟对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．跟踪训练3在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．(1)求a的值；(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|...