耦合的修正变系数KdV方程的非线性波解温振庶(华侨大学数学科学学院，福建泉州362021)摘要：在本文中，我们研究了一个带变系数的耦合的修正KdV方程的非线性波解，利丿IJF-展开法获得了它的多种非线性波解，这些解包括孤立波解，扭波解(反扭波解)，爆破解和周期爆破解.人们己经知道，修正KdV方程具冇扭波解(反扭波解)，而对于KdV方程，却耒得到.事实上，我们发现，这个结果也可以拓展到带变系数的耦合的修正KdV方程和带变系数的耦合的KdV方程.关键词：耦合的修」EKdV方程；变系数；F-展开法；扭波解(反扭波解)；孤立波解中图分类号：0175.29文献标识码：ANonlinearWaveSolutionsforaCoupledModifiedKdVEquationwithVariableCoefficientsAbstract:Inthispaper,\vcstudyacoupledmodifiedKdVequationwithvariablecoefficientsandobtainmultifariousexplicitnonlinearwavesolutions,whichincludesolitarywavesolutions,kink(orantikink)wavesolutions,blow-upsolutionsandperiodicblow-upsolutions,viaexploitingF-expansionmethod.OnehasknownthatmodifiedKdVequationpossesseskink(orantikink)wavesolutions,while,forKdVequation,kink(orantikink)wavesolutionshavenotbeenoblained.Infact,wefindthatthisresultcanalsobeextendedtothecoupledKdVandmodifiedKdVequationwithvariablecoefficients・Keywords:CoupledmodifiedKdVequation;Variablecoefficients;F-expansionmethod;Kink(orantikink)wavesolutions;Solitarywavesolutions1.引言自从著名的KdV方程⑴ut+6uux+uxxx=0,(1)被引入后,它及其变体得到了人们的广泛关注.KdV方程(1)首先被推广为修正KdV(mKdV)方程嗣uf+au2ux+uxxx=0,(2)进一步为高阶KdV方程⑷u(+aunux+uxxx=0,(3)甚至为耦合的KdV方程⑸均+S,vux+232VVX+爲(⑷)x+34UXXX+235UUX=0,彳/⑷山+和叭+2e2uux+£3(UV)X+匂％+2S5VVX=0.最近，帯变系数的非线性微分方程I引起了人们的广泛关注.例如，文献［6］研究了如下的带变系数的KdV方程文献［8］进一步把方程(5)拓展成如下的帯变系数的修」［•:KdV方程叫+a(t)ux一P(t)u2ux+y(t)uxxx=0,且文献［9］通过一些新的变换进一步研究过方程(6).此外，文献［10］引入了如下的一个带变系数的耦合的KdV方程妁+a(t)uux+0⑴叫+y(t)uxxx=0,v,+8(t)uvx+y(t)vxxx=0,其中a(r),0(r)』(r)和5("满足一定的条件.从把KdV方程(1)拓展成mKdV方程(2)的角度来看，我们考虑把方程(7)拓展成如下的带变系数的耦合的修正KdV方程\llt+Q⑴/以+0⑴/叫+7(5*=0，(8)V，+3(t)u2vx+了⑴％=0,其中Q(/),0(f)』(f)和5(/)都是仅关于变量/的函数，并口假定它们满足下而的条件0⑴丰0,5⑴丰00⑴一<z(r)=⑴』⑴=加⑴，(9)其中<7和《都是常数.本文的目的是研究方程(8)的非线性波解.首先，我们将F-展开法应用于方程(8),并获得了方程⑻的各种Jacobian椭圆函数形式的解.然后，通过取Jacobian椭圆函数的极限，获得了它的各种形式的非线性波解，这些解包括孤立波解，扭波解(反扭波解),爆破解和周期爆破解等等.分析发现，带变系数的耦合的修正KdV方程(8)的人部分解形式上都跟带变系数的耦合的KdV方程(7)的解类似，但是，方程(8)具有扭波解(反扭波解)，而对于方程(7),却未获得，这种情形与mKdV方程和KdV方程的情形相类似.2.应用F-展开法求解方程(8)在这一节中，我们利用F-展开法的思想来获得方程(8)的非线性波解，过程如下.对方程(8)作替换u=/(§)川二g(§)広=Ax+//(/),得到加⑴广+加(/)严广+20(r)g2g，+巧⑴广-0,S(W+"("2g，+巧⑴0・假定/©和g©可以展开成如下的关于F©的有限慕级数/(•M)二工。尸(歹)4H0,(11)/=0仇工0,(⑵其中4®，…佥和％易…仇是待确定的常数，且F(g)满足一阶常微分方程由(13),得到F,FH=^2FF,+2t74F3F,,<F^=q2F+2cj4F\(14)Fnt=q2F^6q4F2F\把(11)和(12)代入(10)中，并考虑到关系式(14),根据.严广,g2g，与广“(或者严g与g”')Z间的齐次平衡，得到m=n=l,也就是说，(11)和(12)可以表示成f(x9t)=aQ+a}F(^a{工0,g(x,t)=bQ+blF(^)9blH0.把(15)和(16)代入(10)中,并利用关系式(13)与(14),得到仏”⑴+竝g⑴+辭10(/)+為蚀⑴)F+22(%z細⑴+b()b；0(t))FF++叶0(f)+6屁怕样...