考点32离散型随机变量的概率【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019苏锡常镇调查）从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．(1)问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪个大？请说明理由；(2)求随机变量X的数学期望E(X)．规范解答由于批量较大，可以认为随机变量X～B(10，0.05)．(2分)(1)恰好有2件不合格的概率P(X＝2)＝C×0.052×0.958，恰好有3件不合格的概率P(X＝3)＝C×0.053×0.957.(4分)因为＝＝>1，所以P(X＝2)>P(X＝3)，即恰好有2件不合格的概率大．(6分)(2)因为P(X＝k)＝pk＝Cpk(1－p)10－k，p＝0.05，k＝0，1，2，…，10.随机变量X的概率分布为：X012…10pkC·p0(1－p)10C·p1(1－p)9C·p2(1－p)8…C·p10(1－p)0故E(X)＝∑kpk＝0.5.(9分)答：随机变量X的数学期望E(X)为0.5.(10分)2、(2019南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港三调）现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．(1)现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2)现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．表1表2文章学习积分12345概率视频学习积分246概率规范解答(1)由题意，获得的积分不低于9分的情形有：文章学习3455视频学习6646因为两类学习互不影响，所以概率P＝×＋×＋×＋×＝，所以每日学习积分不低于9分的概率为.(4分)(2)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3.由(1)可知每个人积分不低于9分的概率为.P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝C2＝；P(ξ＝2)＝C2＝；P(ξ＝3)＝3＝.所以，随机变量ξ的概率分布列为ξ0123P(8分)所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.所以，随机变量ξ的数学期望为.(10分)3、(2019盐城市2019届高三第三次模拟考试）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n次，记第n次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为an，数列{an}的前n项和为Sn.记Sn是3的倍数的概率为P(n)．(1)求P(1)，P(2)；(2)求P(n)．规范解答(1)抛掷一次，出现一个0和一个3时符合要求，故P(1)＝.(1分)抛掷两次，出现1＋2，2＋1，0＋0，3＋3，0＋3，3＋0时符合要求，共计6种情况，故P(2)＝＝.(3分)(2)解法1设Sn被3除余1的概率为P1(n)，Sn被3除余2的概率为P2(n)．则有P(n＋1)＝P(n)＋P1(n)＋P2(n)，①P1(n＋1)＝P(n)＋P1(n)＋P2(n)，②P2(n＋1)＝P(n)＋P1(n)＋P2(n)，③(6分)①－(②＋③)，得P(n＋1)－[P1(n＋1)＋P2(n＋1)]＝－[P1(n)＋P2(n)]，P(n＋1)－＝－，化简，可得4P(n＋1)＝P(n)＋1.(8分)即P(n＋1)－＝，又P(1)＝，可得P(n)＝＋·.(10分)解法2设Sn被3除余1的概率为P1(n)，Sn被3除余2的概率为P2(n)．则P2(n)＝1－P(n)－P1(n)，又P(n＋1)＝P(n)＋P1(n)＋P2(n)，所以P(n＋1)＝P(n)＋P1(n)＋[1－P(n)－P1(n)]，得4P(n＋1)＝P(n)＋1，以下同解法1.4、(2018南京、盐城、连云港二模）甲，乙两人站在点P处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别都为，，.(1)设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两人共击中目标数为2个的概率．由条件“每人每次射击每个目标均相互独立”知，用概率乘法公式分别计算甲、乙击中目标数的概率即可．规范解答(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝××＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝.所以，随机变量X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(5分)(2)设Y表示乙击中目标的个数，由(1)亦可知，P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝.则P(X＝0，Y＝2)＝×＝，P(X＝1，Y＝1)＝×＝，P(X＝2，Y＝0)＝×＝，(8...