数列的概念与表示法【知识梳理】1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中n∈N*递减数列an＋1<an常数列an＋1＝an(3)数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．【基础自测】1．数列1，，，，…的一个通项公式是__________答案：an＝2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为__________解析：a8＝S8－S7＝64－49＝15.3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝________.答案：－304．已知数列{an}的通项公式是an＝则a4·a3＝________.解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54.5．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第________项的和最大．解析an＝－n2＋10n＋11是关于n的二次函数，它是抛物线f(x)＝－x2＋10x＋11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大．【说明】1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．【考点探究】考点一由数列的前几项求数列的通项公式[例1]下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是()A．an＝1B．an＝C．an＝2－D．an＝[解]由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案]C【一题多变】若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{an}的一个通项公式为________．---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---答案：an＝【由题悟法】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．2．由数列的前几项写出数列一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．【以题试法】1．写出下面数列的一个通项公式．(1)3,5,7,9，…；(2)，，，，，…；(3)3,33,333,3333，…；(4)－1，，－，，－，，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.(3)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以an＝(10n－1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·，也可写为an＝考点二由递推公式求数列的通项例2根据下列条件，写出该数列的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1(n≥2)．【由题悟法】利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法：(1)累加法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的差的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n－1个式子相加，整理求出数列的通项公式．(2)累积法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的商的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n－1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等...