2.2梁在轴压下稳定性的变分原理及逼近计算(曲屈问题buckling）1.基本问题及认识:现考虑上节的结构，仅轴向拉载改为压载-P即：(1)从挠度上看不稳定，（由三角级数或其他方法可获及挠度解）当P从零增大时，级数中的每个分母都逐渐减少，即级数的每一项的绝对值都在增加，假设外载荷只有，当P接近：时，级数的第一项,即当P不大时，可导致很大的挠度。当P=Pcr时，即使没有横向载荷（即）也可能产生横向挠度，因为这时级数的第一项变为，（一个不确定值），可以不等于0。再看一例：（仅限制角度，不限制轴向位移）分析可知：上式说明，不同支持端条件，导致临界压力不同，故设计时支持端条件非常重要。（2）从系统能量上看不稳定由最小能量原理知，如系统处于稳定平衡状态，系统势能取最小值，意味着给一个挠度微量变化，则泛函的变分：＋即：但当N变成-P时，逐步下降，变成0或负值。这意味着扰动后系统的势能增量没有增加反而减小了（肯定平衡不稳定了），这种微量上的变化差为失稳时的运动能量。q(x)q(x)＝0的点为临界点。（当）此时，也意味着泛函的二阶变分等于零的点为临界点,与挠度的性质对应,当无横向载荷作用,轴向压载达到最大值,挠度不稳定(不确定)时,此刻泛函的二阶变分为零。(3)微分方程的本征值(eigen-value)问题取横向载荷为0,挠度w的方程满足：（EJ为变剖面梁）梁的边界条件可能有多种情况，但都没有位移或外载荷，故可总结为：因为方程及边界条件都是齐次的，故是一个解(平凡解)，但当的一系列值时，w也有不等于零的解。可以从级数解的结果上看到，P等于适当的值可使分母为零，变为不定型）称：为满足方程边界条件的本征值；而为本征向量。由此说，Pcr就是最小的本征值。*在梁的轴压稳定性问题中，只有最小的本征值P1与相应的本征函数有实用意义，其他本征值及本征函数只有理论意义。对于其他问题，如固有振动问题，则每个本征值及本征函数都有意义。*以上从不同的角度看待稳定性问题，事实上也导致不同的分析方法。2.稳定性问题的变分原理由前面的分析我们知：梁在新的位形（w+δw）上总位能的展开形式为：其中：（因为w是平衡形态）将改写为：（边界上的剪力）当处于不稳定平衡时，（分析如前）即可以得到：(从该式看应有无穷多个)如前述，有实际意义的P值应是其中数值最小的一个。所以另一个角度把看成泛函，Pcr是P达到的最小值，即有P的一阶变分为零，得到：由此得到微分方程特征值方程体系。这说明此泛函的选择是正确地。同时由微分方程的特征值问题的讨论，即有：当无横向载荷作用，即P未达到临界值时，而代表偏离平衡位置的可能位移状态，所以：称：泛函为瑞利商（Rayleighient）而为直梁屈曲问题的变分原理(直接应用新泛函，而不是原泛函的二阶变分，此即Rayleighd商泛函的意义)。作业：证明上述变分原理与原微分方程及边界值等价。说明：（1）屈曲问题主要是系统的平衡位形发生了性质变化，平衡由稳定段达到了不稳定段的临界点。（2）平衡性质的变化表现在轴压逐渐增大过程中，（P<Pcr前）任何可能挠度扰动都使系统的势能增加，但增加的量在降低，即泛函二阶变分的值在降低，直至达到屈曲临界状态。（3）可引入瑞利商泛函，通过其变分（驻值）来获得临界载荷。（4）瑞利商变分的结果（即驻值点）可能多个（可从微分方程特征值角度理解），但只有最小的一个是临界值。（5）定义：一个系统变形后，如果它的势能恒大于零，则称这个系统是正定的；若可能大于零，也可能小于零，则称这个系统是不定的。由此，曲屈临界载荷的第二个定义：当P<Pcr时，系统永远是正定的（稳定的）；当P>Pcr时，系统是不定的；P=Pcr点系统从正定到不定的过渡状态，即处在随遇平衡状态。（6）瑞利商中的两个积分具有明显的物理意义，分子是梁的弯曲应变能的两倍，分母是梁两端的靠拢的两倍（指有滑动铰链支持）。挠度引起的单元伸长：（7）系统进入不定阶段，由不同特征值对应不同的特征函数，可以证明这些特征函数有正交特性，即：3.由Ritz法求临界载荷的近似值稳定性问题的两种求法泛函驻立值计算原理：如欲求Pcr的精确解，必须在很大范围内的函数集求泛函的最小值，这等同于微分方程的...