第12讲幂与指数1.a的n次幂的定义如果a是一个实数，n是一个正整数，那么称an为a的n次幂.正整数指数幂满足如下的运算性质：对任意给定的实数a、b及正整数s、t，以下成立（1）asat＝as＋t,（2）(as)t＝ast,（3）(ab)t＝atbt．定义：a0=1，a-n=.2.a的n次方根的定义一般地，如果n大于1的整数，且xn＝a，那么x叫做a的n次方根.3.a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数Rn为偶数±[0，＋∞)4.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．指数幂的拓展（1）知识一5.根式的性质(1)负数没有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，记作.(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．(4)＝a(n为大于1的奇数)．(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．题型、n次方根的化简与计算【例1】求使等式成立的实数a的取值范围．要点：对于，当n为偶数时，要注意两点(1)只有a≥0才有意义．(2)只要有意义，必不为负．【例2】（2020年上海高一必修1教材例题）（1）求的5次方根；（2）求81的4次方根.【例3】化简下列各式：(1)；(2)；(3).要点：根式的化简与求值的思路及注意点1.思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．2.注意点：①正确区分()n与两式；(1)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．②运算时注意变式、整体代换以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论．【例4】已知－3<x<3，求的值．拓展延伸本例中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？方法总结:有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．举一反三1.下列各式正确的是()A.B.C.D.2.化简＝________．3.若，则实数a的取值范围为________．4.求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4).5.已知－1<x<2，求的值．1.分数指数幂（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)．（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)．（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2.有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．(4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．3.无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4.定理（幂的基本不等式）当a>1,s>0时，恒成立拓展当0<a<1,s>0时，恒成立指数幂的拓展（2）知识二题型一、根式与有理数指数幂的互化【例5】将下列根式化成有理数指数幂的形式：(1)(a>0)；(2)(x>0)；(3)(b>0)．方法总结:根式与有理数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数有理数指数的分母，被开方数(式)的指数有理数指数的分子．(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成有理数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[注意]如果根式中含有多重根号，要由里向外用有理数指数幂写出．题型二、有理数指数幂的化简求值【例6】计算下列各式：(1)＋2－2×－(0.01)0.5；(2)＋0.1－2＋－3π0＋；(3)＋－π0；(4)(2020年上海高一必修1教材例题)(5)(2020年上海高一必修1教材例题)方法总结:指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．题型三、整体代换法求有理数指数幂【例7】(1)已知，则x2＋x－2＝________.(2)已知x＋x－1＝7，求值：①＋；②x2－x－2.拓展延伸本例(2)的条件不变，求x3＋x－3的值．方法总结利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂...