专题08不等式选讲不等式选讲作为高考选做题目之一，相对来说难度较小，一般考查解绝对值不等式，柯西不等式以及常见的不等式的解答。类型一：绝对值不等式例题11．设函数，.(1)解关于的不等式；(2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因函数，，则，当时，，解得，无解，当时，，解得，则有，当时，，解得，则有，综上得：，所以不等式的解集是.(2)依题意，，，当时，，而在上单调递增，当时，，于是得，当时，，则有，解得，当时，，而在上单调递增，当时，，于是得，于是得，综上得，所以实数的取值范围.例题2．已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)若对于任意实数x，不等式成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)当时，，则不等式，即，当时，，解得，于是得，当时，，解得，无解，当时，，解得，于是得，综上得：或，所以不等式的解集为.(2)，不等式成立，即，不等式成立，而，因此，，显然有，，解得：，所以实数a的取值范围是.类型二：柯西不等式例题3设函数．(1)求函数的最小值；(2)记函数的最小值为m，若a，b，c为正数，且，求的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由当x＜－1时，f(x)＞3；当－1≤x<时，<f(x)≤3；当x≥时，f(x)≥，∴函数的最小值为；(2)由(1)得，∴由柯西不等式可得：，当且仅当时取等号，∴的最大值是．例题4．已知.(1)解不等式(2)已知最小值为m，若a，b，c∈R+，且求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)：因为令，即或或解得或或，所以不等式解集为：；(2)：由，函数图象如下所示：由函数图象可得函数的最小值，，由柯西不等式可得，当且仅当时取等号.类型三：不等式综合应用例题5．已知函数.(1)若对任意的，恒成立，求正实数t的最小值M；(2)若，，求证：.【答案】(1)2(2)证明见解析【解析】(1)根据题意，恒成立恒成立.因为，所以当时，的最小值为.所以，即.所以t的最小值为.(2)因为，当且仅当时，取等号，所以.1．（2022·山西吕梁·高三开学考试（理））已知，．(1)当时，求不等式的解集；(2)若，，，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)当时，，，或，或，解得，所以不等式的解集为．(2)证明：（当且仅当时，即时等号成立）（当且仅当时，即时等号成立）．2．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知.(1)解不等式；(2)若，关于的不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)依题意，所以或或解得，所以不等式的解集为.(2)因为，所以（当且仅当时等号成立），因为对关于的不等式成立，所以，解得或.所以满足条件的实数的取值范围是.3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知，函数的最小值为3，．(1)求的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)；(2)【解析】(1)由题意，，得或，又，故的值为．(2)画出，的图象如图，由图可知，函数与相交于点，所以的解集为．4．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知．(1)解不等式；(2)若，关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)依题意，，不等式化为以下3个不等式组：或或，解，即，无解，解，即，无解，解，即，解得，所以不等式的解集为．(2)依题意，(当且仅当时取“=”)，因为对关于x的不等式成立，则，解得或，所以满足条件的实数m的取值范围是.1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：当时，所以当时，，此时的解集为；当时，，此时的解集为，所以当时，求不等式的解集为(2)：因为当时，恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因为由绝对值三角不等式得：，所以恒成立，即，解得所以实数a的取值范围是2．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数.(1)求不等式的解集；(2)记的最小值为m，若，，，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)即为，记∴不等式的解转化为：；或；或，综上，原不等式的解集为.(2)由题可知，，当且仅当时取等号.∴，∴，即为，则，当且仅当，即，即，时取等号.3．（2022·安徽·蒙城县第...