§6余弦函数的图像与性质6.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质学习目标：1.会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像.2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点)3.掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．余弦函数的图像(1)利用图像变换作余弦函数的图像π??x＋??，所以余弦函数y＝sin＝cosx的图像可以通过将正弦曲cos因为y＝x2??π线y＝sinx向左平移个单位长度得到．如图1-6-1是余弦函数y＝cosx(x∈R)的2图像，叫作余弦曲线．图1-6-1(2)利用五点法作余弦函数的图像画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y＝cosx(x∈[0,2π])的图像π3????π，00，，(2π，1)，可利用此五点????，1)，上有五个关键点，为(0,1)，(π，－22????画出余弦函数y＝cosx，x∈R的简图(如图1-6-2)．图1-6-2思考1：根据y＝sinx和y＝cosx的关系，你能利用y＝sinx，x∈R的图像得到y＝cosx，x∈R的图像吗？ππ??x＋??，只需把y＝sinxcos根据x＝sin，x∈R的图像向左平移个能，提示：22??单位长度，即可得到y＝cosx，x∈R的图像．页1第2．余弦函数的性质图像定义域R[－值域1,1]当x＝2kπ(k∈最大值，Z)时，y＝1；max当x＝2最小值kπ＋π(k∈Z)时，y＝－1min周期函数，T＝2π周期性在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；单调性在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的偶函数，图像关于y轴对称奇偶性思考2：余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：观察图像(图略)可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)页2第(1)余弦函数y＝cosx的图像关于坐标原点对称．()π(2)余弦函数y＝cosx的图像可由y＝sinx的图像向右平移个单位得到．2(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cosx与y＝sinx的图像形状完全相同，只是位置不同．()(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．()(3)√(4)×[答案](1)×(2)×π??－x??))sin，下面结论错误的是((x∈R)2．已知函数f(x＝2??x)的最小正周期为2πA．函数f(π??，0??B．函数f(x)在区间上是增函数2??对称＝0C．函数f(x)的图像关于直线x是奇函数x)D．函数f(ππ????x－－x????、的性质可判断A(x)＝－sin＝cosx＝－cosx，由ffD[(x)＝sin22????]均正确．B、Cxcos－)的单调递减区间是(3．函数y＝2)＋π2π](k∈ZA．[kπ＋π，k)kπ](k∈ZB．[2kπ－π，2π)Zk∈＋[2kπ，2kπ](．C2)∈Z＋π，2kππ](k．D[2kxcos1??xcos??，定义域是R，B[y＝2＝－2??uu11????????是递减的．x，由于y设y＝＝，u＝cos22????cosx的单调递减区间就是u＝cosx的单调递增区间，即[2kπ所以y＝2－π，－2kπ](k∈Z)．]4．函数y＝1＋cosx的图像()页3第A．关于x轴对称B．关于y轴对称πD．关于直线．关于原点对称x＝对称C2B[把y＝cosx的图像向上平移1个单位可得y＝1＋cosx的图像，故y＝1＋cosx的图像关于y轴对称．][合作探究·攻重难]余弦函数图像的画法画出函数y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图.【导学号：64012039】[解]法一：按五个关键点列表：x0π2π3π22πxcos10－101－cosx－1010－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如右图．法二：作函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像，然后将其作关于x轴对称的图像，即得y＝－cosx，x∈[0,2π]的图像．[规律方法]所谓的五点法是指特定的五个点，这五个点为图像的最高点、最低点或与图像的平衡位置的交点，切忌用其他的五点来代替.五点法是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，其他方法都由此变化而来.函数y＝cosx，x∈[0，π3π2π]的图像上起关键作用的五个点坐标依次为：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，220)，(2π，1).[跟踪训练]11．作函数y＝cosx－1，x∈[0,2π]的简图．2页4第按五个关键点列表：解][x0π2π3π22πcosx101－011cosx21201－20...