第21卷第8期牡丹江大学学报Vol.21No.82012年8月JournalofMudan激angUniversityAug.2012：1008-8717（2012）08-0119-04含参变量无穷积分一致收敛性的判断技巧与应用刘红玉（陇南师范高等专科学校数学系,甘肃成县742500）摘要：在探讨各类《数学分析》教材中关于含参变量无穷积分的定义和判敛方法的基础上,通过几个常见问题的分析解答,归纳出含参变量无穷积分一致收敛性的判断的若干技巧,并讨论了含参变量无穷积分在学习和实践中的应用价值.关键词：含参变量反常积分；一致收敛性；类比；探索式教学：G642文献标识码：A含参变量无穷积分是分析学中的重要内容，但在教学的过程中学生很难掌握.一致收敛是含参变量无穷积分的一个重要性质.有效地判别含参变量无穷积分的一致收敛对进一步研究含参变量无穷积分的性质起着重要的作用.本文对含参变量无穷积分的一致收敛性的判断方法做了总结并指出了学生在学习过程中应注意的问题，以便学生平时学习或考研时参考.反常积分包括无穷区间积分和无界函数反常积分两种形式.本文只讨论在区间[a,+)上的无穷区间+b无穷积分∫af(x,u)dx.对于∫∞−f(x,u)dx，以及无界函数的反常积分，可以类似地得到相应的结果.一、含参变量无穷积分一致收敛性的判断方法的归纳和总结1．利用定义判断若∫a+f(x,u)dx对u∈I逐点收敛，要证明∫a+f(x,u)dx在I上一致收敛，即要证明∫A+f(x,u)dx在I上一致收敛于0（当A→+时）即：∀ε>0,∃A0>0,当A>A0时有∫A+f(x,u)dx<ε(∀u∈I)；要证∫a+f(x,u)dx对u∈I非一致收敛，即要证明：∃ε>0,∀A>0,∃A>A及u∈I，使得+f(x,u)dx≥ε.00101012．利用Cauchy准则判断+′′′∫af(x,u)dx在I上一致收敛的充要条件是∀ε>0,∃A0>A0时，有>a,当A>A∫AA12f(x,u)dx<ε判断一致收敛的M判别法，Abel与Dirichlet判别法也是根据Cauchy准则证明出来的.3．Weierstass判别法（M判别法）设∫a+f(x,u)dx在u∈I上收敛，如果（1）f(x,u)≤F(x)(∀x≥a,∀u∈I)，（2）∫a+F(x)dx收敛，则∫a+f(x,u)dx关于u∈I一致收敛.收稿日期：2012-05-20作者简介：刘红玉（1980—），女，甘肃清水人，讲师，研究方向：数学分析和概率统计的教学和研究。119使用M判别法，关键在于将被积函数的绝对值f(x,u)适当地放大，以找出函数F(x)（优函数），使得f(x,u)≤F(x)(∀x≥a,∀u∈I)且∫a+F(x)dx收敛.则∫a+f(x,u)dx关于u在I上一致收敛.在判别函数项级数(函数列)一致收敛时，需要对某些表达式进行适当放大，从而达到判别函数项级数(函数列)一致收敛，这种方法叫放大法.值得注意的是上面说的是判别含参变量无穷积分的一致收敛常用的三个判别法则.从这三个法则我们可以看出无论是用哪一个定理，要实现对含参变量无穷积分一致收敛的判别，均要对一定的表达式进行有效的放大.放大法的技巧有以下几种：a.利用已知不等式进行放大如利用柯西不等式:(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx进行放大b.通过求最大值进行放大c.利用Taylor公式等进行变形后放大d.利用递推的方法进行放大e.确界法f.利用Abel变换进行放大利用Cauchy收敛准则证明含参变量无穷积分的一致收敛性时一个重要的问题是将“片断”∫AA12f(x,u)dx进行变形，这种变形的一个重要方法是利用Abel变换.M判别法，使用比较方便，但适用面较窄。特别若所讨论积分本身一致收敛，同时又是条件收敛时，显然，M判别法，对于这种情况是无能为力的.只好用下面的判别法.证明：含参变量积分∫0+∞cosx2ydx在∞−<y<+∞上一致收敛.例11+x2cosx2y1+1证明对∞−<y<+，有≤无穷积分∫0dx收敛，故含参变量积分x2+11+x21+x22∫0+∞cosxydx在∞−<y<+上一致收敛.21+xcosx2y1+1但我们也可以这样做≤，但无穷积分∫0dx收敛吗？不收敛.x2+1x2x2+cosxy例2证明：含参变量积分∫1dx在∞−<y<+∞上一致收敛.x2+y2cosxy1+1证明对∞−<y<+，有≤无穷积分∫1dx收敛，故含参变量积分x2+y2x2x2∫+cosxydx在∞−<y<+上一致收敛.1x2+y2M判别法得的结论是绝对一致收敛，但并不是所有绝对收敛的积分都能用M判别法来判断.11积分∫1+∞e−(x−)dx在0<α<1上虽然绝对一致收敛，但并不能用M判别法进行判断[1].例3αα分析我们首先来证明该积分一致收敛；其...