第1页共11页解三角形中的范围问题摘要：在近几年的高考中，解三角形经常考查范围问题。为了使学生能够更好地解决此类问题，本文在正余弦定理、面积公式及三角函数相关知识的基础上，结合具体的例题，归纳了解决此类问题常用的两种方法。关键词：解三角形；范围；减少变量；三角函数；不等式：G633.6文献标识码：A：1992-7711（2014）09-0130一、减少变量，转化为求函数的值域问题1.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c设向量■=（c-a，b-a），■=（a+b，c）若■∥■，①求角B的大小；②求sinA+sinC的取值范围。分析：由向量共线可得两边平方和减第三边的平方，可知要用到余弦定理；第二问中A和C有关，一个用另一个表示，减少变量第2页共11页进而求范围。解析：①■∥■，c（c-a）-（b-a）（a+b），c2-ac=b2-a2，■=1由余弦定理，得cosB=■，B=■。②A+B+C=π，A+C=■，sinA+sinC=sinA+sin（■-A）=sinA+sin■cosA-cos■sinA=■sinA+■cosA=■sin（A+■）■注意本题考查：①向量共线的坐标表示；②余弦定理、两角差的正弦公式、辅助角公式；③第二问中通过减少变量，转化为关于角A的三角函数求范围。变式1：在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a（cosB+cosC）=b+c①证明：A=■；②若ABC外接圆的半径为1，求ABC周长的取值范围。分析：已知边和角的表达式可以化简为：边化角或角化边；第第3页共11页二问涉及外接圆的半径考虑正弦定理，表示出周长后减少变量求范围。解析：①a（cosB+cosC）=b+c由余弦定理得：a（■+■）=b+c整理得：（b+c）（a2-b2-c2）=0又b+c>0a2=b2+c2即A=■②由ABC外接圆的半径为1，A=■可得a=2b+c=2（sinB+cosB）=2■sin（B+■）2ABC的周长的取值范围是（4，+2■]注意本题考查：①正余弦定理、辅助角公式；②第二问中通过减少变量，转化为关于角B的三角函数求范围。变式2：在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2=b2+c2+■bc①求角A的大小；②设a=■，S为ABC的面积，求S+3cosBcosC第4页共11页的最大值，并指出此时的值。分析：涉及两边平方和减第三边的平方，考虑余弦定理；第二问从要求的出发，考虑用面积公式及两角和差公式化简。解析：①a2+b2+c2+■bc由余弦定理得cosA=■=■=■又0②由①得sinA=■，结合正弦定理得S=■bcsinA=■■asinC=3sinBsinCS+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B-C）所以当B=C即B=■=■时，S+3cosBcosC的最大值为3。注意本题考查：①正余弦定理，面积公式；②通过减少变量，利用两角差的余弦公式求最值。2.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cosC+（cosA-■sinA）cosB=0①求角B的大小；②若a+c=1，求b的取值范围。第5页共11页分析：已知三个角的关系，求角，考虑A+B+C=π；第二问中已知三边及一角考虑余弦定理。解析：①由题意可知-cos（A+B）+cosAcosB-■sinAcosB=0化简得sinAcosB=■sinAcosB=0sinA≠0sinB-■cosB=0又cosB≠0tanB=■②由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosBa+c=1cosB=■b2=3（a-■）2+■（0■≤b2注意本题考查：①两角和的余弦公式，余弦定理；②第二问中将b2转化为a关于的二次函数，易错点是0变式：在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，（2a+c）cosB+bcosC=0①求角B的值；②若a+c=4，求ABC面积S的最大值。第6页共11页分析：已知边和角的表达式化简方法为：角化边或边化角；第二问中减少变量转化为二次函数的最值问题。解析：①由正弦定理得，（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinAcosB+sin（B+C）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0因为，sinA≠0所以cosB=-■，又B为三角形的内角，所以B=■②S=■acsinB，由B=■及a+c=4得S=■a（4-a）sin■=■（4a-a2）=■[4-（a-2）2]，又0注意本题考查：①正弦定理，两角和的正弦公式及面积公式；②通过减少变量，转化为给定区间上二次函数求最值。二、利用不等式求最值1.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知a=bcosC+csinB第7页共11页①求角B的大小；②若b=2，求ABC面积S的最大值。分析：已知边和角的表达式化简方法：角化边或边化角；第二问中可利用均值不等式求面积的最值...