6.2.4平面向量的数量积2课时向量数量积的运算律导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.了解数量积的运算律2.会用向量数量积的公式解决相关问题．【自主学习】知识点1向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝；(4)cos〈a，b〉＝；(5)|a·b|≤|a||b|.知识点2向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【合作探究】探究一向量的数量积的运算律【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[分析]根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可．[解](1)a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×(－)＝－3.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.归纳总结：求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.【练习1】已知向量a与b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，则a·(2a＋b)等于.答案：2解析：a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝4－2＝2.探究二向量的模【例2】已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.[答案][分析]利用模的公式和数量积的运算律进行求解．[解析]因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，所以|a－3b|＝＝＝＝.归纳总结：1要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.2已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求解.【练习2】已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝.答案：3解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.探究三向量的夹角【例3】已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.[答案]C[分析]利用向量垂直的判定和数量积公式进行求解．[解析]设a，b夹角为θ，由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosθ＝＝＝－，所以θ＝.归纳总结：求两向量a，b的夹角，通常借助于公式计算【练习3】设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．答案：(－7，－)∪(－，－)解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cosθ＝<0，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－.当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则∴.∴所求实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．探究四向量垂直的判定【例4】已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？答案：k＝[分析]利用向量垂直的性质，由(ka－b)·(a＋2b)＝0可求出．[解] (ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，∴k＝，即k为时，向量ka－b与向量a＋2b垂直．归纳总结：解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.【练习4】P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案：D解析：由PA·PB＝PB·PC得PB·(PA－PC)＝0，即PB·CA＝0，∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．探究五向量数量积的综合应用【例5】在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．答案：等边三角形[分析]易知a＋b＋c＝0，分别将a、b、c移至等号右边，得到三个等式，分别平方后选取两个等式相减，即可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系．[解]在△ABC中，易知AB＋BC＋CA＝0，即a＋b＋...