云南大学数学分析习作课（1）读书报告题目：数列极限与函数极限的异同（定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学姓名、学号：任课教师：时间：2009-12-261摘要极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础；极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算2数列极限与函数极限的定义一数列与函数：1、xxxx.，…，，a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：，…，1n23xx，也可将其看作定义在自然数集N上的函数，通常记作{=}N?n),nf(nn。故也称之为整标函数x，，可以按照确定的规律：如果对某个范围X内的每一个实数b、函数的定义fxx的上的函数，它在对应，我们就称是得到内唯一一个实数和这个YXfy数值（称为函数值）是，记为，即。)(xf(x)y?fyxx内的所有实遍取定义域称，当是自变量，是因变量，又称是函数的XXy的全体所组成的范围叫作数时，在的作用下有意义，并且相应的函数值)xf(f大，但它可，它当然不会比，要注意的是：值域不一定就是Y函数的值域Yf小。能比Y数列极限的定义（一）、：2xx???{A}?，则称，对，有对数列，若存在常数ANn??0,??N?N,?nnxxlim=A.的极限为，记为数列收敛且收敛于，并称数列}{AAnn?n?1lim0?试用定义验证：..例1n?n?11：?分析过程，欲使证明,???0nn1?n即可，故只需?11????.?0:??N?1,?n??N?0,????n??lim).1?q??(?1试用定义验证：例2.?n???nn??0??qq分析过程证明：.欲使，?lg0q?lg?n）只需。故（注意qlg?????lg??n??.??0:?,max?N?1,n?Nq0??，????lgq????????3n??将适当放大，，一般地，对于比较复杂的表达式我们通过运算,?xA?nn????，又使得当能比较容易求得变形简化到由不等式，既使得对于?N??0nn?????。以下各例的解法中都时，恒成立不等式，从而有?x???A?Nn?Nnnn贯穿这一思路。21n?n2?lim试用定义验证：3.例.?234n?3n?2?n?.证明：分析过程2110?5nn?215nn?2n???.故，????222n3n92n?4n?2?4)3(3n?3n21n?n2?????.??:n??N?0,?N?max{,2},??2?42n3n????limn)?1?1(aa?1.试用定义验证：例4.??n???nnn???a?1?1a，证明：分析过程.欲使，注意到?a?1nn利用不等式得，Bernoullia????.只需故nna??.：??n?a?1Nn???,N???1,?0?????limn1?n.试用定义验证：例5．?n??n仿照上例的证法，记，有证明:分析过程.??1nn)(n?1n2n???1n?(??)1，nn22????.故只需nn2????n?1n?.，，：Nn.???0?1?N????2?????N?n?NxN??：，6.例关于数列，以及，证明：若对于某个常数A)10q?(,00nAq?x??xA，1?nnlimAx?.则有n??n4limn0?q可知，证明：由??nN?qon??q0?:于是由题设可得，,N,N?Nn????0,?111A?x?N0??:NNn??max,10N?n?.?x?A?qx?A0Nn01?51lim，例.7.，.设证明：1x??x?xN?n11n?nx1?2?n?n显然，注意到证明:0x?n5?11225?1???x?x?nn?121?x25?1(5?1)(1?x)n0125???x.n23即得所证。于是由例6（二）函数极限的定义：????Axf()，，，：定义1设，若存在，RA?a????0XR?f:(???(X,??),?xb)x??时的极限为则称当，记为趋于Alimf(x)?A或.)???A(xf(x)?n??类似的，???A)?f(x,，设若存在，,,:R?AbX???0?)x?(???,R,F:(??b)?X则称当趋于-时的极限为，记为?Alim或.A)?f(x)???x)?A(f(xn??????,??A):f0?X?,?x?(xX,??,,定义2.设，，若存在RA?0??Rf:R?x?A，记为的极限为则称当时趋于)f(xlimf(x)?A或.)?(x??f(x)Ax??xx时函数的变化情况趋于某一实数下面讨论当0xf(x?0)f(x?0)左极处的左极限，右极限也可分别记作函数在点，)(fx000限，右极限统称为单侧极限.5的某去心邻域中有定义，则由定义可知：若在xf0limlimlim均存在且相和存在)f(x)?(xf)(fx??xx?xx?xx?o00.等需要特别指出的是，由于在一元函数微积分中我们研究的...