求向量组的秩与极大无关组(修)改整理．求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩A；阵AB；变换化为阶梯形矩阵行②对矩阵进行初等B中非零行的个数即为所求向量组的秩．③阶梯形aa=(2,4)，3,1】求下列向量组2,=(1,3,【例2１a=(3,4,5,6)的秩，.4,5)3aaaA，用初等行向量作成矩阵变解1：以,,列为３１２A化为阶梯形矩阵后可求换将.因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．2/11aaaA，用初等行变为2解：以行,向量作成矩阵,３１２A化为换将阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2．2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1逐个选录法?,?…,?,给定一个非零向量组A：n21???0，则①设线性相关，保留?111?????与与若②加入线性相关，去掉，若?121222；??；，线性无关，保留21③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：的最大无TTT?????????,?4,1,,?13,1???1,2,1,2,?312关组aa解：因为非零，故保留113/11aaaaa与线性无关，故保留取因为21，，122aaaaa，a，a线性相关。+取易得，故=23113，232aa所以最大无关组为2，1方法2初等变换法ABB的列向矩阵，则经初等行变换化为【定理】A对应的列向量组有相同的线性相关性量组与.证明从略,下面通过例子验证结论成立.TTT???=(1,2,3)=(-1,2,0),,向量组：=(1,6,6)321由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：1（）列向量行变换A列向量①把向量组的向量作为矩阵的组成矩阵；BA②对矩阵进行初等；化为阶梯形矩阵行变换4/11AB的每阶梯首列③对应的向量组中的与，即为最大无关组．TT?：?,=(3,-1,2,0)=(2,1,3,-1),【例3】求向量组21TT??的秩和一个最大无=(1,3,4,-2)=(4,-3,1,1),43关组,并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。????A,并实施初等行为以,列,构造矩阵,变解4321换化为行阶梯形矩阵求其秩：1-13-3-3323141-1????????????01-121?13?305-510??????????????,?,,A?4213??????00001032415-50??????0000-210-10?21?1??????rA)=2,故向量组的最大无关组含2(个向量知??,故分别在第1,2列,而两个非零行的非零首元21为向量组的一个最大无关组-11????r?(知10???,事实上，,)=2,故线性????，???221121??00??00??无关A????,,用,为把线性表示把变成行最简形矩阵2413-1102????21-10??BA????0000??0000??5/11B=????,因为初等行变换保持了列,,(,)记矩阵4231?????,向量间的线性表出性，因此向量,,与向量,13214???之间有相同的线性关系。,,423210?????????????101??????????????2,???12????而??2213124??????000??????000????????????因此=-=2-+2,243211【例4】求下列向量组的一个最大无关组，其中：????????????7?,,4,?12,?1,2,0,3??2,?5,3,6??0,1,3,0?4312???.25,?8,1?,5A，用初等行列向量作成矩阵变换解：以给定向量为A化为阶梯形矩阵B将BC.再化成行最简形矩阵再利用初等行变换，将6/11A,B,C初等矩阵的方用最大线性无关组表示其它向量初等变换行作为法为：中见求秩无关B向量①把向量组的向量作为矩阵的列做陪线性无关CA；组成矩阵BA进行初等行变换化为阶梯形矩阵；②对矩阵CB进行初等行变换化为行最简形矩阵；③把阶梯形④根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量．的秩，】【例5求向量组，，.和一个最大无关组7/11解：，故向量组的秩为3，当且时，(1)是一个最大无关组；且时，，故向量组的秩为3，且(2)当是一个最大无关组；时，若，则当，此时向量组的(3)若是一个最大无关组.，秩为2，且则，此时向量组的秩为3，且是一个最大无关组.（2）行向量列变换同理,也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵）,通过做初等列变换来求向量组的最大无关组。【例6】求向量组，，，的一个最大无关组.，A，用初等列行解：以给定向量为向量作成矩阵变换A化为行最简形:将8/11行向量（列变换）个行向量构成的向量组线性无关，4，2，的第由于1.是向量组的一个最大无关组故（了解）3线性相关法...