专题跟踪检测（十四）圆锥曲线的综合问题1．(2018·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．解：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－， 点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，联立结合①式，解得即N(pk，－1)．所以|AB|＝|x2－x1|＝·＝·，点N到直线AB的距离d＝，则S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号， △ABN的面积的最小值为4，∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.2．(2019届高三·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.(1)求证：k1·k2＝－；(2)试探求△POQ的面积S是否为定值，并说明理由．解：(1)证明： k1，k2存在，∴x1x2≠0， m·n＝0，∴＋y1y2＝0，∴k1·k2＝＝－.(2)①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由＝－，得－y＝0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得＋y＝1，∴|x1|＝，|y1|＝，∴S△POQ＝|x1|·|y1－y2|＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)>0，∴x1＋x2＝，x1x2＝. ＋y1y2＝0，∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，满足Δ>0.∴S△POQ＝·|PQ|＝|b|＝2|b|·＝1.∴△POQ的面积S为定值．3.(2018·长春质检)如图，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①＝，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：＋＝1(a>b>0)上．(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．解：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(－2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，＝. kAG＝kAQ，kBG＝kBP，∴＝，＝－，从而有＝－＝－，整理得＋y2＝1，即椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0＝，从而梯形ORMN的面积S＝(2＋x0)y0＝，令t＝2＋x0，则2<t<4，S＝.令u＝4t3－t4，则u′＝12t2－4t3＝4t2(3－t)，当t∈(2,3)时，u′>0，u＝4t3－t4单调递增，当t∈(3,4)时，u′<0，u＝4t3－t4单调递减，所以当t＝3时，u取得最大值，则S也取得最大值，最大值为.4．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)，直线x＝my＋3与E交于A，B两点，且OA·OB＝6，其中O为坐标原点．(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C的坐标为(－3,0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：＋－2m2为定值．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x，整理得y2－2pmy－6p＝0，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－6p，x1x2＝＝9，由OA·OB＝x1x2＋y1y2＝9－6p＝6，解得p＝，所以y2＝x.(2)证明：由题意得k1＝＝，k2＝＝，所以＝m＋，＝m＋，所以＋－2m2＝2＋2－2m2＝2m2＋12m＋36－2m2＝12m·＋36·.由(1)可知：y1＋y2＝2pm＝m，y1y2＝－6p＝－3，所以＋－2m2＝12m·＋36·＝24，所以＋－2m2为定值．5．(2018·惠州调研)已知C为圆(x＋1)2＋y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足MQ·AP＝0，AP＝2AM.(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤OF·OH≤，求k的取值范围．解：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2>|CA|＝2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a＝，c＝1，b＝＝1，故点Q的轨迹方程是＋y2＝1.(2)设直线l：y＝kx＋t，F(x1，y1)，H(x2，y2)，直线l与圆x2＋y2＝1相切⇒＝1⇒t2＝k2＋1.联立⇒(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，则Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8...