解析函数唯一性定理在几何中的应用张慧铭1,2，刘敏思2****（1.华中师范大学经济管理学院，武汉430079；2.华中师范大学数学与统计学学院，武汉430079）摘要：本文根据复变函数中解析函数唯一性定理得到“平面点解析变换唯一性定理”。在证明与平面点的旋转变换、平移变换、伸缩变换相关的几何定理时，若几何定理中的平面动点在平面区域的局部成立，则几何结论就在整个区域内恒成立。该定理是一种用局部证明整体的例证法，为几何定理机器证明提供了新的理论基础。关键词：复变函数；平面几何；例证法；解析函数唯一性定理中图分类号：O174.5UniquenessTheoryofAnalyticFunctionintheApplicationsofGeometryZhangHuiming1,2,LiuMinsi2(1.SchoolofEconomics,CentralChinaNormalUniversity,Wuhan430079;2.SchoolofMathematicsandStatistics,CentralChinaNormalUniversity,Wuhan430079)Abstract:Inthispaper,accordingtotheuniquenesstheoremofanalyticfunctions,wegetaproposition:“Analytictransformsuniquenesstheoremofpointinplaingeometry”.Whenwearebouttoproofsomeplanegeometrytheoremsrelatetogeometrytransformofpoints.wecanturntheplanegeometrytheoremintoplanarregionDwithfinitetimesofgeometrytransforms.Bythisnewmethod,iftheplanegeometrytheoremisholdinthesubdomainofD,thentheplanegeometrytheoremholdinD.“Analytictransformsuniquenesstheoremofpointinplaingeometry”isamethodtoprooftheoremsfromparttowhole,whichprovidesanewtheoryformathematicsmechanization.Keywords:functionsofcomplexvariables;planegeometry;instancesmethod;uniquenesstheoremofanalyticfunctions;0引言平面几何变换与复数的运算有着密切的联系（以下的平面几何变换和平面几何问题都分别简称为几何变换和几何定理），很多几何定理能够借助复数来证明。笔者在[1]中利用一元例证法对几何问题进行了巧妙的证明，其理论基础的源于代数学的一个定理：定理1设0()niiifkak和0()niiigkbk。如果有1n个互异的数1+1,,nkk使得()(),iifkgk1,...,1in，则,0,1,,iiabin，即()()fkgk。举例法证明几何定理，属于几何定理机器证明。此法还可推广到多元多项式的情况，张景中（1991）在[2]中，构造二元多项式，用(数值并行法)多点例证法证明三角形的内角和为180。针对二元多点例证法，笔者另辟蹊径，考虑复数，在复变函数论中有一个与定理1相似的结论。这就是解析函数唯一性定理，由此产生新的例证法（定理4）。*作者简介：张慧铭（1990-），男，数学经济学实验班，主要研究方向：概率统计，数学模型，平面几何等*通信联系人：刘敏思（1962-），男，副教授，主要研究方向：复变函数值分布理论，分形几何等.E-mail:liums@mail.ccnu.edu.cn5101520253035401唯一性定理1.1解析函数唯一性定理定理2（解析函数唯一性定理）设两个函数()fz和()gz都在区域D内解析，若存在子集ED满足：E至少有一个属于D的聚点,且对任意zE，()()fzgz，则在区域D内()()fzgz。推论设两个函数()fz和()gz都在区域D内解析，若()fz及()gz在D内的某一子区域（或一小段弧或收敛于D的点且彼此互异的点列）上相等，则在D内()()fzgz。1.2解析变换如图1，建立复平面坐标系。复平面上的点(,)xy在复平面上可以用复数zxiy表示。图1解析变换Fig.1analytictransforms定义1如图1（为正实数集，C为复平面）。（1）对一个复数z施加某个变换之后，新的复数能变为ilze(l为逆时针旋转角，当顺时针旋转l取值为负)，记这个变换为1()lilfzze，称这个变换为旋转变换（简记为x）。（2）对一个复数z施加某个变换之后，新的复数能变为mza(maC)，记这个变换为m2()mfzza，称这个变换为平移变换（简记为p）。（3）对一个复数z施加某个变换之后，新的复数能变为nbz（nb）（其中表示正实数集）。记这个变换为n3()nfzbz，称这个变换为伸缩变换（简记为s）。以上3种变换称为初等解析变换定理3一个复数经过有限次的初等解析变换（记变换次数为a，aZ）之后，合成起来的变换可以...