华南师范大学学报(自然科学版)JournalofSouthChinaNormalUniversity(NaturalScience)主理想整环的商环的乘法半群结构_陈卓荣■华南师范大学敎学系rHi51DO31A摘要仁文讨论了主理想整坏的竟环的乘祛半群上的格林关系.确定了日-类的Schutzenberger弄•片Mi寸论了主理世整环的査环的乘法半群的结枸•垠终得到的结果是：主理想整环芒于其弁零理世的商环的乘迭半群是詆一正則的，且其正则元集是一个CbfTord半滞.关键词竺空;:輕虧"正畤群;C阪「d半群中图分类号引言0152.7我们知道•对于舍以交换环R.R的真理想P是一个素理想当且仅当商环尺护是整环.当11仅当/UP的乘法半群是一个无零因子半群:R的理想M是极大理想当且仅当R/N1是域.当且仅当R/M的非零元乘法半群是一个群•从半群的角度来看•上述2种情况是2个极端的请况•给岀它们之间的一个中间层次是很有意义的工作.本文正是从这个角度来考察主理想整环•研究了主理想整环的乘法半群的结构•讨论了其乘法半群上的格林关系，确定—类的SchOtzenberger群.无零因子的含么交换环叫做整环■每个理想都是主理想的整环是主理想整环•主理想整环是一个唯一分解环.设R是一个主理想整环、则任意XGR,有标准分解找x=Up\pj讥、其中"是R的单位，几（?=是不可约元.若还有y=t?P|*•於（假定所有指数可以为0）.则x与y的最大公因子存在•记为gcd（x.y）•且gcd（x,y丿〜…於J,；.其中〜表示god"与p：'瞠…卍相差一个单位，约定（儿刃=卅卅••必以上定义和事实见文献【1]・设5是一个半群，工产S.则搭林关系£次,3是如下定义的：xj：y当且仅当存在aES'使x=ay.y^bx;V当口仅当存在Q、bwS'使x=ya,y=xh;xjy当且仅当存在a.b.a\b=S'使axb=y,aybf=x.这里匕是半群s添加恒等元得到的半群•若s具有恒等元则s'=s」=z次也是格林关系•在交换半群上这些关系都是相等的.以上定义和事实见文献卩]・并的半格称为Clifford半群•一个Clifford半群S的结构为S=UG=、其中丫是半格•毎1卜G,为群口G.・G岸G冲、半群S中的元a称为正则的•如果存在"S使得uxu=m.每个收1996-07-04元都是正则的半群称为正则半群•每个元的某一幕是正则元的半群称为兀-正则半群.以t定义和半实见文献［3］.在文献［4］,作者只讨论了模某一固定整数巾的整数环的商环乙上乘法半拆上的日-关系.本文讨论主理想整环的商环的乘法半群上的丿-关系及其乘法半群的结构、最终隹第2节中得到如下结果：主理想整环关于其非零理想的商环的乘法半群是亢-正则ny,II.其正则元集是一个Clifford半群.19/一关系和Schutzenberger群设R是一个主理想整环皿GR是一个非零元，则只伽)是一个尺摸理想⑷)的商环・记尺伽)的乘法半群哲(心伽)、・)•简记为录=RSh在交换半群豆上=£駅、故对于xJe~R^y当口仅当存在s、［ER使x=ys.y-xT•先给出一个关于m的刻划.定理U设R是一个主埋想整环J=(m)是R的一个真理想•则对于7,7^.x^/y当且仅当gcd(xm)—gcd(p,m),当且仅当(x.w?)=O\m).证明设乂中y.则存在1.7&斤=ys.y=x7.从询一式子我们可得“一理巳巾).即冇R)即x=+me.于是gcd(y.m)|\,据此有gcd(y,w)|gcd(.x.m).同理对证gcd(x.w)|gcd(3:.m｝・故gcd(x.w)与gcd(y.m｝只相差一个单位，即gcd(x,m)~gcd(y.m).反过来，设gcd(x.m)-gcd(y.in).则必有gcd(y.gcd(xtm)\y.设\=gcd(y.4GR.又存在s、1GR使gedjw)=j«54-mt.故弋=)炖)+于是x-(m).从而x=y^7_同理可还存在s\qR.使得亍=x即有K申了.后一个等价性是显然的、证毕、頫便我们可得下面的命题.命题1.2商环心⑷)的乘法半群氏上的格林关系网的等价类集侖与R：｛m)的理患之PIff—个I一1对应.设m=up^'Pl'是啊的标准不可约因子分解式•则R的3/-类共fi*(af4-1)(a:+1)-••(«,+I)个.证明作到R中含％)的理想之集上的对应<p:H-I~(gcd(x.rn)).掘定理IN.®必是一个映射且是单射•又令(d)是包含3)的R的一个理想•则必有qWR使m=dq.因为gcd(J.m｝-(I.所以=(gcd(rf.m))—(</).故<p是一个1-I映射•容易知道在小的标准分解式下・R中含有(m)的理想共有厲+1)(业+1)…佃.+1)个•这也是瓦中丿一类的数屋•证毕.我们可以帝斤的的』一类表示出来•为此关于m的因子d作集台U*=；uwR|gcd(a,mhl)-容乌知ifi匚=莎GR/(fn:d)\aCUm!tf｝是商环尺!tmid)...