????中学数学月刊年第期谈过任一点作三次曲线切线的条数问题朱红岩赵艳杰黑龙江省密山市一中年全国卷Ⅱ第题已知函数一一求曲线一厂在点处的切线方程Ⅱ设祝如果过点“可作曲线一厂的条切线证明一以’以题中提到过点作曲线一厂的条切线问题那么点在什么区域内时曲线—一的切线能有条呢点在什么区域内时切线能有条最多能有几条切线呢下面我们研究过任一点Ⅳ以易作曲线厂一一切线的条数问题解设过点口作曲线了一二一的切线为切点为厂则切线的方程为一一—一以因为过点厂所以有一一易一—≠以整理得—盘一方程有多少个解切线就有多少条下面解决方程解的个数问题设一—以以则一—口令一得一一口当口易知当一时有极大值以当一“时有极小值一以口当口一。或一口盘—时方程有两根即当点Ⅳ盘在曲线一一或—一八一一弋归二图上时过点Ⅳ作曲线—一的切线只有条如图点Ⅳ在粗黑线上当“或一盘盘时方程有一根即当点Ⅳ以满足一或‖一时过点Ⅳ作曲线—一的切线只有条如图点Ⅳ在阴影部分当日且一以口时方程有根即当点Ⅳ以满足一且一时过点作曲线—一的切线—§一蛀‖。了扣一、、、弋图弋上一一、‘√碜一图有条如图点Ⅳ在阴影部分当以即点口在轴左侧方条法同前可得过点Ⅳ作盐线‖一一的切线条数如图簇砖≯≮少、装、、声一工图当盘一方程有一根即当点Ⅳ在轴上过点Ⅳ作曲线—一的切线只有条综上得如图①当点Ⅳ以满足一且一或一且‖一或是原点曲线的对、入——声一然诲念瀣黯承、弋条图称中心时过点Ⅳ作曲线—一的切线只有条万方数据年第期中学数学月刊????垂足三角形周长和面积的简证如图△的角所对之边分别为’为三条高为垂心则△是垂足三角形又命尺和△分别为△曾仪苏州大学数学科学学院么然图的外接圆半径和面积文给出了垂足三角形的周长。和面积△。的公式。一△。△可惜其证明太长现简证如下先证式注意到四点共圆故有么一么在△中运用正弦定理有——’所以一五音℃’??至此与。有两种表达式其一由于五矗一五所以一“同理一—因而一以其二由爵弓一所以、一。一同理一火一尺因而。一由于—一、一一所以。一再证式注意到及分别四点共圆所以‘一广一一。么。一么一。一所以么—于是△。一÷????么厶一÷??????一一△参考文献嵇国平孙四周垂足三角形的周长和面积中学数学月刊、驴、驴、驴抄驴、—驴驴护驴—驴—驴、驴、护抄、驴、驴、痧、护驴痧驴移驴痧护、护驴谚、驴护驴驴驴驴驴、护抄、驴驴舻、驴、≯、护、②当点Ⅳ以在曲线‖一一≠或—一≠上时过点Ⅳ作曲线一的切线只有条③当点Ⅳ以满足一且一或一且一时过点作曲线一一的切线有条同理可推导一般情况过任一点作盐线一以‖盘的切线条数问题结论如图一努工一嘉口茗工矗中心刍。厂一刍图过任一点作曲线一以口的切线条数问题与前面类似这里不再赘述万方数据