专题跟踪检测（八）数列一、全练保分考法——保大分1．已知等差数列的前3项依次为a，a＋2,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110，则k的值为()A．9B．11C．10D．12解析：选C由a，a＋2,3a成等差数列，得公差为2，且2(a＋2)＝a＋3a，解得a＝2，所以Sk＝2k＋×2＝k2＋k＝110，解得k＝10或k＝－11(舍去)．2．(2018·云南模拟)已知数列{an}是等差数列，若a1－1，a3－3，a5－5依次构成公比为q的等比数列，则q＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：选C依题意，注意到2a3＝a1＋a5,2a3－6＝a1＋a5－6，即有2(a3－3)＝(a1－1)＋(a5－5)，即a1－1，a3－3，a5－5成等差数列；又a1－1，a3－3，a5－5依次构成公比为q的等比数列，因此有a1－1＝a3－3＝a5－5(若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是一个非零的常数列)，q＝＝1.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝方得至其关．要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则第三天走了()A．60里B．48里C．36里D．24里解析：选B由题意得每天走的路程构成等比数列{an}，其中q＝，S6＝378，则S6＝＝378，解得a1＝192，所以a3＝192×＝48.4．已知递减的等差数列{an}中，a3＝－1，a1，a4，－a6成等比数列．若Sn为数列{an}的前n项和，则S7的值为()A．－14B．－9C．－5D．－1解析：选A设数列{an}的公差为d，由题可知d<0，因为a1，a4，－a6成等比数列，所以a＝a1×(－a6)，即(a1＋3d)2＝a1×(－a1－5d)．又a3＝a1＋2d＝－1，联立可解得d＝－1或d＝(舍去)．因为d＝－1，所以a1＝1，所以S7＝－14.5．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋n，则a1＋＋…＋等于()A．2n2＋2nB．n2＋2nC．2n2＋nD．2(n2＋2n)解析：选A ＋＋…＋＝n2＋n，①∴当n＝1时，＝2，解得a1＝4.当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1.②①－②，得＝2n，∴an＝4n2.当n＝1时上式也成立．∴＝4n，则a1＋＋…＋＝4(1＋2＋…＋n)＝4×＝2n2＋2n.6．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A．10B．15C．20D．25解析：选C由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，综上可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立，综上可得a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.7．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则其公比q等于________．解析： {an}是由正数组成的等比数列，∴数列{an}的公比q>0.由a2a4＝1，得a＝1，∴a3＝1. S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)．故q＝.答案：8．在各项均为正数的等比数列{an}中，am－1am＋1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn.若T2m－1＝512，则m的值为________．解析：由等比数列的性质，得am＋1am－1＝a＝2am.又数列{an}的各项均为正数，所以am＝2.又T2m－1＝(am)2m－1＝22m－1＝512，所以2m－1＝9，所以m＝5.答案：59．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n∈N*)，则S2n－1＝________.解析：因为a1＝1，an＋an＋1＝(n∈N*)，所以S2n－1＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2n－2＋a2n－1)＝1＋＋＋…＋＝＝.答案：10．(2018·成都模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝16，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设数列{an}的公差为d， a2＝3，S4＝16，∴a1＋d＝3,4a1＋6d＝16，解得a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1.(2)由题意，bn＝＝，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.11．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)已知a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn.(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：由题知，＝＝2， b1＝a2－a1＝4－2＝2，∴b1＋2＝4，∴数列{bn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)可得，bn＋2＝4·2n－1，...