空间直线方程的拟合霍晓程(株洲职业技术学院,湖南株洲412001)摘要:探讨用最小二乘法解决空间直线方程的拟合问题1先拟合三个直角坐标系中的投影直线,再通过投影直线求出空间直线方程,并对拟合出来的三个不同的直线方程进行比较,选择最佳拟合方案1关键词:最小二乘法;:O24112拟合;空间直线文献标识码:A:1671-9743(2009)02-0016-04自然界中常见的光束是以射线方式传播的,计算机应用领域中图形图像也是许多光束投影的结果,射线是直线的一部分1-31如何测量并计算光束所在的直线方程呢?光束有粗细之分,测量出来的数据点肯定有误差,那么如何拟合空间直线方程呢3?下面笔者用最小二乘法来拟合空间直线方程11最小二乘法拟合空间直线方程问题1计算数学中讲到的直线拟合,主要是用最小二乘法拟合平面上的直线方程4-5,拟合出来的方程为y=a+bx,但空间中的直线方程形式为x-x0y-y0=z-z0,该怎样拟合它呢?=ABC若将空间直线方程转化为平面直线方程,这种拟合就容易多了1一般情况下,空间直线在三个坐标系XOY、XOZ、YOZ中的投影也都是直线,所以可以先将它的投影拟合成直线,只要拟合出两条投影直线就可以求出空间直线方程,因为平面直角坐标系中的直线方程也是空间直角坐标系中的平面方程,两个平面的交线就是我们要求的空间直线1对于给定的点(xi,yi,zi)(i=1,2,,n),其在坐标系XOZ和YOZ的投影为(xi,zi)、(yi,zi),先在坐标系XOZ和YOZ中拟合这两条直线za1+b1x,z=a2+b2x,显然这两条直线是空间直线在坐标系XOZ和YOZ=中的投影[4],因z=a+bx,z=a+bx在坐标系O-XYZ中是两个特殊的平面方程,这两个平面的交线就1122是我们要求的空间直线方程1在坐标系XOZ中,通过最小二乘法可以将投影点(xi,zi)(i=1,2,,n)拟合成如下方程:nnnn∑zi∑xi2-∑xi∑xizii=1i=1i=1i=1a1=nnnnna1+b1∑x=∑zn∑x2-(∑xi)2i=1i=1i=1i=1得nnnnnna1∑xi+b1∑x2=∑xizn∑xizi∑xi∑zi-i=1i=1i=1i=1i=1i=1b1=nnn∑x2-(∑x)2iii=1ni=1nnnnnn∑z∑x2-∑xi∑xizin∑xiz-∑xi∑zii=1i=1i=1i=1+i=1i=1i=1x直线方程:z=nnnnn∑x2-(∑x)2n∑x2-(∑x)2iiiii=1i=1i=1i=1收稿日期:2009-01-16作者简介:霍晓程(1972-),男,湖南武冈人,株洲职业技术学院讲师,硕士生,主要研究计算数学1·17·第28卷第2期霍晓程:空间直线方程的拟合同理在坐标系YOZ中拟合的直线方程为nnnnnnn∑zi∑yi2-∑yi∑yizin∑yiz-∑yi∑zii=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1z=+ynnnnn∑y2-(∑y)2n∑y2-(∑y)2iiiii=1i=1i=1i=1所以对于给定的点(xi,yi,zi)(i=1,2,3,,n),拟合出来的空间直线方程为:nnnnnnn∑zi∑xi2-∑xi∑xizin∑xizi-∑xi∑zii=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1z=+xnnnnn∑x2-(∑xi)2n∑x2-(∑xi)2i=1i=1i=1i=1(3)nnnnnnn∑zi∑yi2-∑yi∑yizin∑yizi-∑yi∑zii=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1z=+ynnnnn∑y2-(∑y)2n∑y2-(∑y)2iiiii=1i=1i=1i=1方程的唯一性讨论2问题2通过在直角坐标系XOZ、YOZ中拟合其投影直线分别为z=a1+b1x,z=a2+b2x,再计算出来==na1+a2+nzzb1xb2y的空间直线方程在坐标系XOY上的投影是否为直接在坐标系XOY拟合出来的方程:nnnnn2∑yi∑xi∑xi∑xiyin∑xiyi-∑xi∑yi-i=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1x呢?y=+nnnnn∑x2-(∑x)2n∑x2-(∑x)2iiiii=1z=z=i=1i=1i=1a1+a2+nb1xb2yna1-a2b1x,如果这两条直线相吻合的话,则必有由得y=+b2b2nn∑∑2∑∑yixi-xixiyia1-a2i=1i=1i=1i=1=nnb2nnnnn∑x2(∑x)2-∑i∑i2x∑i∑iiy-xxyiia-ai=1i=112i=1i=1i=1i=1两式相除得=nnnb1nnnn∑xiyi∑xi∑yi-n∑xiy-∑xi∑yib1i=1i=1i=1i=1i=1i=1=nnb2n∑x2-(∑xi)2i=1i=1nnnnnnn即(a1-a2)n∑xiyi-∑xi∑yib1∑yi∑xi2-∑xi∑xiyi=i=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1也就是说,当满足以上关系式时,拟合出来的空间直线方程才是唯一的13拟合方程的修正nnn问题在空间直线的拟合过程中,问题2中的关系式(a1-a2)n∑xiyi-∑xi∑yi=3i=1i=1i=1nnnnb1∑yi∑x2-∑xi∑xiyi成立的巧合性很小,那么该如何修正已经拟合出来的空间直线i=1i=1i=1i=1z=z=a1+b1xa2+b2y,使其偏差程度很小呢?·18·怀化学院学报2009年2月==a1+a2+zzb1xb2ya1-a2b1直线在直角坐标系XOY的投影为y+x,只要所求的总误差Q==b2b22na1-a2b122∑(zi为最小时,那么拟合出来的直线方程--b1xi)+(zi-a2-b2xi)+yi-...