第四章平面向量与复数【知识图解】Ⅰ.平面向量知识结构表Ⅱ.复数的知识结构表【方法点拨】由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.第1课向量的概念及基本运算【考点导读】1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3.了解平面向量基本定理及其意义.【基础练习】向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积两个向量平行的充要条件件件两个向量垂直的充要条件件件数系的扩充与复数的引入复数的概念复数的运算数系的扩充OAPQBab第4题1.出下列命题：①若ab，则ab；②若A、B、C、D是不共线的四点，则ABDC是四边形为平行四边形的充要条件；③若,abbc，则ac；④ab的充要条件是ab且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c。其中，正确命题材的序号是②③2.化简AC�BD�CD�AB�得03.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若OA�＝a，OB�＝b，则OP�＝213a3b，OQ�＝123a3b(用a、b表示)5.设1,2ee是不共线的向量,已知向量121212AB2,CB3,CD2�ekeeeee,若A,B,D三点共线,求k的值为8k【范例导析】例1.如图，ABCD中，,EF分别是,BCDC的中点，G为交点，若AB�=a，AD=b，试以a、b为基底表示DE、BF�、CG�新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆分析：本题可以利用向量的基本运算解决.解：1122�DEAEADABBEADabbab1122�BFAFABADDFABbaabaG是△CBD的重心，111()333�CGCAACab点拨:利用一直向量表示未知向量的依据是平面向量基本定理，在解题中，应尽可能地转化到平行四边形或三角形中，结合向量的加减法、数乘运算解决.例2.已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：2ABDCEF�.分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.证明：如图，连接EB和EC，由EAABEB�和EFFBEB�可得，EAABEFFB�（1）AGEFCBDDCEFAB例1例2由EDDCEC�和EFFCEC�可得，EDDCEFFC�（2）（1）+（2）得，2EAEDABDCEFFBFC�（3） E、F分别为AD和BC的中点，∴0EAED�，0FBFC�，代入（3）式得，2ABDCEF�点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.例3.已知,OAOB�不共线，OPaOAbOB�,求证：A,P,B三点共线的充要条件是1ab分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数，使得APAB�,即OPOAOBOA�,∴1,OPOAOB� OPaOAbOB�,∴1,ab，∴1.ab再证充分性：若1.ab则APOPOA�=a1OAbOBbOBOA�=bAB�,∴AP�与A...