考点19直线与圆（2）【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2017苏州暑假测试）圆心在抛物线y＝x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为________．【答案】(x±1)2＋2＝1【解析】思路分析求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与y轴都相切，得到圆心的一个等式，再根据圆心在抛物线上，得到另一个等式，从而可求出圆心的坐标，由此可得半径．因为圆心在抛物线y＝x2上，所以设圆心为(a，b)，则a2＝2b.又圆与抛物线的准线及y轴都相切，故b＋＝|a|＝r，由此解得a＝±1，b＝，r＝1，所以所求圆的方程为(x±1)2＋2＝1.2、(2019扬州期末）已知直线l：y＝－x＋4与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相交于P，Q两点，则CP·CQ＝________．【答案】0【解析】解法1(坐标法)圆心C(2，1)，由解得或即P(2，2)，Q(3，1)，CP·CQ＝(0，1)·(1，0)＝0.解法2(定义法)设弦PQ的中点为M，则圆心C(2，1)到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝CM＝＝，因此MQ＝＝＝.因为CM＝MQ，所以∠MCQ＝，从而∠PCQ＝，即有CP⊥CQ，所以CP·CQ＝0.解法3(极化恒等式法)设弦PQ的中点为M，则圆心C(2，1)到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝CM＝＝，因此MQ＝＝＝，CP·CQ＝(CM＋MP)·(CM＋MQ)＝(CM－MQ)·(CM＋MQ)＝CM2－MQ2＝－＝0.3、(2019南京、盐城一模）设A＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，点P∈A，过点P引圆(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PA，PB，若∠APB的最大值为，则r的值为________．【答案】1【解析】解法1设圆心为C.因为∠APB＝2∠APC，所以∠APC的最大值为，所以PC的最小值为2r，则＝2＝2r，即r＝1.解法2如图，求出满足使∠APB最大值的点P轨迹，连接P点和圆心，由解法1可知点P到圆心的距离为2r.点P满足轨迹(x＋1)2＋y2＝4r2，因为存在唯一最大值．所以该圆和直线3x＋4y－7＝0相切，此时满足圆心到直线的距离d＝2r，又因为d＝2，解得r＝1.4、(2019常州期末）过原点的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为________．【答案】y＝±x【解析】由PQ为圆的直径可得AP⊥AQ，从而得圆中kAP·kAQ＝－1，结合条件kAN·kAP＝1得出kAQ＝－kAN，从而得出角相等，围绕几何性质，解出本题．或者抓住AN⊥PQ，设点P坐标即可．解法1作图，易得直线PQ斜率存在且不为0.由PQ为圆的直径可得AP⊥AQ，从而kAP·kAQ＝－1，又kAN·kAP＝1，所以kAQ＝－kAN，故∠QAO＝∠NAO.又∠QAO＝∠OQA，设∠QAO＝α，则∠NOA＝2α，则α＋2α＝90°，得α＝30°.故直线PQ的倾斜角为60°.由对称性知，直线PQ的倾斜角也可为120°，所以kPQ＝±.所以直线l的方程为y＝±x.解法2设P(x0，y0)，易知x0≠0，－1，y0≠0，则x＋y＝1，kPQ＝.由PQ为圆的直径得AN⊥PQ得kAN＝－，kAN·kAP＝－·＝1，得x0＝－，y0＝±，kPQ＝＝±.所以直线l的方程为y＝±x.5、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．【答案】x2＋y2＝81【解析】思路分析圆C平分圆C1等价于：两圆的公共弦是圆C1的直径．设圆C的圆心为C(a,0)，半径为r，则r2＝CC＋1且r2＝CC＋9，即解得所以圆C的方程为x2＋y2＝81.6、(2018南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．【答案】－【解析】“圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上”等价于“圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆与直线kx＋y＋3＝0有公共点”．圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝≤1，解得－≤k≤0，所以实数k的最小值为－.7、(2019南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是______...