学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)射线y＝x(x≤0)；(2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．【解】(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y＝x，得ρsinθ＝ρcosθ，∴tanθ＝，∴θ＝或θ＝.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。又x≤0，∴ρcosθ≤0，∴θ＝，∴射线y＝x(x≤0)的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)．聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＋2ax＝0，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosθ＝0，即ρ(ρ＋2acosθ)＝0，∴ρ＝－2acosθ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2acosθ.2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)ρ＝；(2)ρ2＝tanθ.【解】(1)由ρcosθ＝5，得x＝5.(2)x2＋y2＝(x≠0)，即x(x2＋y2)－y＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tanθ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x(x2＋y2)－y＝0.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。3．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于A，B两点．酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度．【导学号：98990011】【解】(1)曲线C2：θ＝(ρ∈R)表示直线y＝x；曲线C1：ρ＝6cosθ化为直角坐标方程，即x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.(2)因为圆心C1(3,0)到直线的距离d＝，r＝3，所以弦长AB＝3.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。4．求点A到直线l：ρsin＝－2的距离．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。【解】A(2，)的直角坐标为(1，)，l：ρsin(θ－)＝－2，ρ(sinθ－cosθ)＝－2.厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。即：x－y－4＝0.故A(1，)到l：x－y－4＝0的距离为＝3.茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。5．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解】(1)由ρcos(θ－)＝1得ρ(cosθ＋sinθ)＝1，籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。即x＋y＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝时，ρ＝，所以N(，)．預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。(2)∵M的直角坐标为(2,0)，N的直角坐标为(0，)．∴P的直角坐标为(1，)，P的极坐标为(，)．所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．6．在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹方程．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。【解】以圆心O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)．因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP.即·3·ρ·sinθ＋·1·ρ·sinθ＝·3·1·sin2θ.整理得：ρ＝cosθ.7．在极坐标系中，圆C：ρ＝10cosθ和直线l：3ρcosθ－4ρsinθ－30＝0相交于A、B两点，求线段AB的长．铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。【解】分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圆心C(5,0)；擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。直线l：3x－4y－30＝0，因为圆心C到直线l的距离d＝＝3，所以AB＝2＝8.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。[能力提升]8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求PQ的最大值．坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣脐鯪裣鄧鯛。【解】∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cos(θ－)，∴ρ2＝12ρ(cosθcos＋sinθsin)，蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁遲銻鹂迳睁張晕辯滾癰學鸨朮刭。∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.∴PQ的最大值为6＋6＋＝18.