海伦公式的几种另证及其推广2002级3班欧锦峰关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c),则S△ABC=aha=ab×sinC=rp=2R2sinAsinBsinC==其中，S△ABC=就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的变形S==①=②=③=④=⑤二、海伦公式的证明证一勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:x=y=ha===∴S△ABC=aha=a×=第1页共5页此时S△ABC为变形④，故得证。证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则t2=证明：由证一可知，u=v=∴ha2=t2=－∴S△ABC=aha=a×=此时为S△ABC的变形⑤，故得证。证三：余弦定理分析：由变形②S=可知，运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S=则要证S===ab×sinC此时S=ab×sinC为三角形计算公式，故得证。证四：恒等式分析：考虑运用S△ABC=rp，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C=180○那么tg·tg+tg·tg+tg·tg=1证明：如图，tg=①tg=②tg=③第2页共5页根据恒等式，得：++=①②③代入，得：∴r2(x+y+z)=xyz④如图可知：a＋b－c=(x+z)＋(x+y)－(z+y)=2x∴x=同理：y=z=代入④，得：r2·=两边同乘以，得：r2·=两边开方，得：r·=左边r·=r·p=S△ABC右边为海伦公式变形①，故得证。证五：半角定理半角定理：tg=tg=tg=证明：根据tg==∴r=×y①同理r=×z②r=×x③①×②×③,得：r3=×xyz∵由证一，x==－c=p－cy==－a=p－az==－b=p－b第3页共5页∴r3=∴r=∴S△ABC=r·p=故得证。三、海伦公式的推广由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA=eEB=f∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○∴∠1=∠3∴△EAB～△ECD∴===解得：e=①f=②由于S四边形ABCD=S△EAB将①，②跟b=代入公式变形④，得：∴S四边形ABCD=======第4页共5页====所以，海伦公式的推广得证。四、海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD=,AD=1,AB=1,CD=2.求：四边形可能为等腰梯形。解：设BC=x由海伦公式的推广，得：=(4－x)(2＋x)2=27x4－12x2－16x＋27=0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)=0(x－1)(x3＋x2－11x－27)=0x=1或x3＋x2－11x－27=0当x=1时，AD=BC=1∴四边形可能为等腰梯形。第5页共5页