沿着墙角下滑的梯子的轨迹研究

沿着墙角下滑的梯子的轨迹研究——胡子昂、张鑫森一.问题的提出:一张梯子放在墙角,本身就会慢慢地滑下,直至倒在地面上为止,那么它所形成的轨迹是什么?看似简单的一个问题,细细想来却十分复杂。二.初步分析:首先抛开下滑速度等物理因素,我们可以这样考虑成如下一个数学模型:一条定长的线段,且其两个端点都在坐标轴上,并且该线段是一条从y轴正半轴开始运动,顺时针旋转直至该线段与x轴正半轴重合。那么我们要研究的就是线段上无数个点所形成的轨迹。于是,为了便于研究,我们可以给定数据,线段的定长为5个单位。那么,我们能从几何画板上进行推演。通过几何画板的,也许我们可以直观简单的来判断一下轨迹的形状。具体操作步骤如下:首先建立直角坐标系,在直角坐标系的x轴上确定一条长5cm的线段(一个端点是原点)。在线段上选定一点A,量取它的横坐标XA,然后计算,得到另一个点B的纵坐标,横坐标为0。连结AB,获得线段。让这条线段自由移动获得的轨迹就是我们所需要的轨迹。以上是作图的最终结果。我们猜想这轨迹的边缘似乎是一个圆形。而且在线段移动的过程中,我们发现线段总有一点是和轨迹的边缘相切,即轨迹的边缘极有可能是包络线。这个特性让我们不得不去思考,这个到底是个什么图形。三.具体研究:这条线段在滑落的过程中可以看成“一族”线段,设线段与x轴的夹角为α,线段长为5,则线段的斜率为,线段与y轴的交点为。从而可以得出,此时α作为参数给出了一族线段,同时α的取值范围为。然后开始验证在分析时我们得出的轨迹边缘的特性是否正确,即现在需要判断该曲线是否为包络线。包络线确定方法如下:若曲线族由给出,为参数,则轨迹方程有下面的方程给出:显然,消参之后无奇点,所以该轨迹一定是包络线。带入后得到对第一个方程求导,然后我们仔细观察,不难发现我们要求的其实就是包络线的参数方程,并且只与a有关,所以我们有:将第二个方程带入第一个后可得所以可得然后我们可以积分并考虑边界条件α=0时,,可得。四.结论:可对以上研究过程做推广,若梯子长为L,其下滑的轨迹边缘方程为

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