第28卷第5期2012年10月山西大同大学学报(自然科学版)JournalofShanxiDatongUniversity(NaturalScience)Vol.28.No.5Oct2012文章编号：1674－0874（2012）05－0026－03一维非齐次波动方程的求解方法张子珍，林海（山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同037009）摘要：非齐次偏微分方程是数学物理方程教学中的难点，本文以一维非齐次波动方程为例，提出各种不同的解法，以便对教学起到促进作用。关键词：偏微分方程；分离变量法；冲量法；拉普拉斯变换法；付立叶变换法；格林函数法中图分类号:O411．1文献标识码:A在偏微分方程的教学中,非齐次方程的求解是教学中的难点,尤其是边界条件不同,如混合问题或哥西问题[1]处理方法则灵活多样,这给学生造成一定的困难。为此，本文对一维非齐次方程的求解方法进行归类,以便对该问题有一个总体的认识。1混合问题的求解混合问题，是指既有初始条件又有边界条件。现以非齐次波动方程为例，来讨论混合问题的求解方法。假设边界条件是齐次的,因为如果边界条件是非齐次的,可以先将边界条件齐次化后,再进行求解。1.1分离变量法分离变量法的基本思想是，令u（x，t）＝X（x）T（x）,将一个偏微分方程化为两个常微分方程,其中的一个常微分方程可以构成本征值问题,从而求出本征值和本征函数,然后代入另一个常微分方程去求解。以下面的方程为例加以说明。同时将f（x，t）按本征函数展开,代入方程中得:n2π2a2T″n＋Tn＝f（nt）。l2此二阶常系数线性非齐次微分方程的解是Tn＝Cncosnπat＋Dnsinnπat＋llllnπa（t－τ）乙0sinf（nτ）dτ，nπal∞u（x，t）＝ΣsinnπxT（nt）。ln＝0代入初始条件,可求得系数,lCn＝2乙φ（x）sinnπxdx，ll0l2乙ψ（x）sinnπxdx。Dn＝nπal01.2冲量法[2]应用冲量法的前提是初始条件均取零值。仍以两端固定的弦振动为例,利用线性方程的叠加原理,方程(1)可分解为xutt＝a2uxx＋（fx，t），（0燮x燮l，t＞0）xu（x，t）＝u(x,t)+u(x，t）。令uⅠ和uⅡ分别满足ⅠⅡxxxxu（0，t）＝0，u（l，t）＝0(1)xxxxu（x，0）＝φ（x），u（tx，0）＝ψ（x）2IxuItt＝a＋uxxxxxx在方程(1)中,无论方程是齐次还是非齐次，通过边xuⅠ（0，t）＝0，uⅠ（l，t）＝0乙x界条件都可以看出,该方程的本征函数是sinnπx,xxuⅠ（x，0）＝φ（x），uIx，0）＝ψ（x）xl本征值是n2π2。所以分离变量时X（x）可以直接写tx和l2成本征函数的形式,即xuⅡxtt＝auxx＋f（x，t）2ⅡxxxuⅡ（0，t）＝0，uⅡ（l，t）＝0乙xx∞xuⅡ（x，0）＝0，uⅡ（x，0）＝0u（x，t）＝ΣsinnπxT（nt）。xtxl这样，方程(1)的解可转化为求解uⅠ和uⅡ。uⅠ是齐次n＝0方程齐次边界条件,它的解是∞过积分L[p]＝乙0（ft）edt使原变量t变成新－pt∞uⅠ＝Σ（Cncosnπat＋Dnsinnπat）sinnπ而且通过变换原来的偏微分方程变为常微分方程,从而使求解变得简单。仍以一维波动方程为例，进行求解。llln＝0lCn＝2乙φ（x）sinnπxdx，llψ（x）sinnπxdx。xxutt＝a2uxx＋（fx，t），（0燮xl2乙xDn＝xxu（0，t）＝0，u（l，t）＝0xnπalxxxu（x，0）＝φ（x），u（tx，0）＝ψ（x）xuⅡ是非齐次方程,但初始条件已化为零,可以用冲量法来求解。冲量法的基本思想是，将持续作用的力看作是许许多多前后相继的瞬时力,持续作用力引起的振动看作所有瞬时力引起的振动的叠加,即x方程及其边界条件两边对变量t进行拉氏变换得p2u軌（x，p）－pφ（x）－2＋f（軇x，p），dxu軌（0，p）＝0，u軌（l，p）＝0。求解得:l乙f（x，t）＝f（x，τ）δ（t－－p－p（fx，τ）δ（t－τ）可看作是作用在τ时刻的瞬时力,把该瞬时力引起的振动记为ν（x，t，τ）,则ν（x，t，τ）满足定解问题xxu軌（x，p）＝Aea＋Bea＋通过边界条件求出系数A和B,再通过逆变换解出u（x，t）。xxνtt＝a2νxx＋f（x，τ）δ（t－τ）x2哥西问题的求解哥西问题，是指两端无界，即－∞＜x＜∞,因为没xxxν（0，t）＝0，ν（l，t）＝0xxxxν（x，0）＝0，ν（tx，0）＝0xf（x，τ）δ（t－τ）这个力只作用在τ时刻,在τ－0它尚未起作用,弦仍是静止的,它的速度也为0,到τ＋0时刻,这个力已作用结束,时间非常短,故弦上各点位移根本来不及...