考点12平面向量的线性表示【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019无锡期末）在四边形ABCD中，已知AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中，a，b是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是________．【答案】.梯形【解析】、因为AD＝AB＋BC＋CD＝(a＋2b)＋－4a－b＋(－5a＋－3b)＝－8a－2b所以，AD＝2BC，即AD∥BC，且|AD|≠|BC|，所以，四边形ABCD是梯形．2、（2017年苏州期末）设与是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则．【答案】.：【解析】、，设．则且，解得．3、（2017徐州期末）在中，若点，，依次是边上的四等分点，设，，用，表示，则．【答案】.【解析】、在中，，，所以．4、（2016年南通一模）如图，在中，，分别为边，的中点.为边上的点，且，若，，则的值为.【答案】：【解析】、：因为为的中点，所以，故，。5．（2017泰州期中）如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则_______，___________．【答案】，．【解析】、设与，同方向的单位向量分别为，，依题意有，又，，则，所以，．ABCO6、（2016年苏北四市联考）如图，一直线与平行四边形的两边分别交于两点，且交其对角线于，其中，，，，则的值为．【答案】．【解析】、因为点F，K，E共线，故可设又，所以，解得．【问题探究，变式训练】题型一向量的共线定理与平面向量的线性运算知识点拨：注意平行四边形法则和三角形法则的灵活运用。例1、(2018南京学情调研）设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，则实数x的值是________．【答案】4【解析】、因为a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4.【变式1】、(2017南京学情调研）已知向量a＝(1,2)，b＝(m,4)，且a∥(2a＋b)，则实数m的值为________．【答案】2解法1由题意得a＝(1,2)，2a＋b＝(2＋m,8)，因为a∥(2a＋b)，所以1×8－(2＋m)×2＝0，故m＝2.解法2因为a∥(2a＋b)，所以存在实数λ，使得λa＝2a＋b，即(λ－2)a＝b，所以(λ－2,2λ－4)＝(m,4)，所以λ－2＝m且2λ－4＝4，得λ＝4，m＝2.解法3因为a∥(2a＋b)，所以a∥b，所以4＝2m，即m＝2.【变式2】、(2017苏州暑假测试）设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(2，y)，且a＋2b＝(5，－3)，则x＋y＝________.【答案】－1【解析】、由题意得a＋2b＝(x＋4,1＋2y)＝(5，－3)，所以解得所以x＋y＝－1.【变式3】、、已知点C，D，E是线段的四等分点，为直线外的任意一点，若ABCDEFK，则实数的值为．【答案】：【解析】、因为，所以．【关联1】、(2016南京、盐城、徐州二模）已知为的外心，若，则=．【答案】【解析】、：由已知等式得，平方得，故，得，若为锐角，则与反向，与条件矛盾，故为钝角，从而.误点警示：若为锐角，则与分别是同弧所对的圆心角与圆周角，此时=2；若为钝角，由与的关系是，因此，必须对进行分类讨论.本题从条件判断知，必为钝角.【关联2】、在△ABC中，∠C＝45°，O是△ABC的外心，若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．【答案】[－，1)思路分析本题中三点在圆O上是一个关键条件，可以建立坐标系求出m，n的关系式，再利用三角换元求解，也可以对向量等式两边平方后得到m，n的关系式，再利用线性规划求解．因为C＝，O是△ABC外心，所以∠AOB＝90°，OC＝mOA＋nOB，所以C在优弧上．建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设半径为1，则A(0,1)，B(1,0)．设C(cosθ，sinθ)，代入OC＝mOA＋nOB，可得n＝cosθ，m＝sinθ，即m＋n＝cosθ＋sinθ＝sin.又θ＋∈，所以m＋n∈[－，1)．解后反思本题易错在没有注意点C在优弧上，错误的认为点C在整个圆上．本题是典型的二元函数的值域问题，解题方法比较多，可以用基本不等式、线性规划、三角换元，但由于点C在圆弧上，最好的方法建立坐标系，利用三角函数求解，定义域的寻找也较为简单．题型二平面向量的基本定理的应用知识点拨：运用平面向量基本定理表示向量的本质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法和减法数乘。要特别注意用基底表示向量有时要借助于几何性质，如平行和相似。例2、(2019苏北四市、苏中三市三调）...