一类几何不等式的一个结果第33卷第'5期1.33No.5唐山师范学院JournalofTangshanTeachersCollege2011年9月Sep.2011一类几何不等式的一个结果刘健(华东交通大学初等数学研究所,江西南昌330013)摘要:建立了三角形内部任一点到三边距离的一个不等式,提出并应用计算机验证了两个未解决的猜想.关键词:三角形;内部点;锐角;不等式:O.178文献标识码:A:1009-9115(2011)05-0017-03AResultofaKindofGeometricInequalityLIU激an(InstituteofPrimaryMathematics,EastChina激aotongUniversity,Nanchang330013,China)Abstract:Inthispaper,weestablelishanewinequalitiesinvolvingthedistancesfromanarbitraryinteriorpointtothethreesidesofatriangle.Finally,twounsolvedconjecturescheckedbythecomputerareputforward.KeyWords:triangle;interiorpoint;acute-angle;inequalityl主要结果设P为4BC内部任意一点,P到边BC,CA,AB的距离分别为rl,r2,r3.x~AABC的三边BC,C,AB的长分别为口,b,C.1971年,Ju.I.Gerasimov首先发现了不等式【1】.堕+盟+监≤bccaab4等号当且仅当P为△C的外心时成立.1975年,L.Carlitz与M.S.Klam_kin又提出了类似的不等式【】:,丽r2r3+r3rl+rA一6)《4(2)(一6X—c)(—c×一口)(一口X一6)其中口+b+c2等号当且仅当P为C的内心时成立.不等式(1),(2)的证明都不困难,是有关,r2,的两个基本不等式.本文作者对这两个不等式曾作过研究,在文献【3】中给出了不等式Gerasimov(1)的一个加强,在文献[4】中作者应用Carlitz-Klamkin不等式(2)与其它结果导出了一个有许多应用的三元二次型几何不等式.本文建立一个新的类似于(1),(2)两式的不等式:定理设AABC三边BC,CA,AB上的旁切圆半径分别为,,rc,则对内部任一点P有++≤(3)(r6+),占(+)(ra+r6)3等号当且仅当AABC为正三角形且P为其中心时成立.2足理的证明引理l设正数,P2,P3与实数gl,,满足4p2P3》,4P3P~》,4p~P2》及+++qlq2q~≤4(4)则对任意实数,Y,z有++z》qlyz+q2zx+q~xy(5)引理2设三边BC,CA,AB上的三条高线分别为吃,,,外接圆与内切圆半径分别为尺,,.,则《塑(6)吃3证明由恒等式:堕:6cRabe,.4(s—aXs-b)(s—c)可知不等式(6)等价于b2c》3(6+cXs一口)(—bXs—c)(7)令收稿日期:2010.12.22作者简介:刘健(1963.),男,江西兴国人,华东交通大学助理研究员,研究方向为几何不等式..17.第33卷第5期唐山师范学院2011年9月—a=x,Y=—b,z=—C则知上式等价于(z+)(+)一3xyz(2x+y+z)》0展开整理即+2(+z)'+(-z)x2一y主题.v+z)+y2z》0(8)注意到,,Z均大于零,可见当yz+z)x时,上式显然成立.当yz《(y十z)x时,要证(8)式只要证:X4+2yzx+(Y—z)一yz(y+z)x+y2z2》0等价于.x4+12z2+1(y2X2+圭+Z)X--】》0上式显然成立.综上,不等式(8)对任意正数x,y,z成立,从而不等式(7)与不等式(6)获证.引理3以∑表示循环和,其余符号同上,则在AABC中有∑(c+日)+6)6c=一(4Rr一3r+(32R+8Rr+3r.),.+(4R+r),'证明易知有恒等式:∑(c+口)(口+6)6c=3(abc)bb2c2将已知恒等式:abc=4Rrsbc=s2+4Rr+,2∑bc=-(SRr一2r+(4+,.)r代X(1O)式中,化简后就得(9)式.证明首先证明三兀二次型不等式:(口+yb+zc)._》6r[yz(/g+ho)+zx(ho+%)+(吃+)】上式即a2x+b2y+C2Z_》2yz[3r(hb+hc)-bc]+2zx[3r(h,+吃)一凹】+2xy[3r(h~+hb)-ab】为证上式,根据引理l先来证:4(bc)》[6r(hb+h~)-2bc]即12r(/~+hc)[2bc-3r(hb+)】》0于是只要证2bc》3r(hb+吃)注意到等式bc=2耽.18.(9)(1O)(11)(12)(13)(14)(15)(16)此司知这个不等式等价于引理2的不等式(6),所以不等式(16)得证.其次,根据引理1与不等式(16)及与它相应成立的另两式可知,要证(15)式只需证:4∑口【3,(+)-bc]+q-I【3,.(%+)一6c】≤4(幻c)(17)由于有恒等式:∑口[3r(hb+)一6c】=9r∑口(%+吃)-6rabc~.,a(hb+)+3(abc)(18)兀【3,.(嚏+)一6=27r'n(+)+36c∑口(+)-9r∑6c(+h.Xho+)一(abc)(19)上式中兀表示表示循环和(下同此).以这两式代入(17)式中,约简知(17)式的证明可化为∑口(+魄)+6ryI(hb+)≤2∑6+)(吃+hD(2o)记AABC面积为△,则知上式即4A.∑a2(b+c)2+—48rA'I'I(b+c)8A:两边乘以(口6c)/(4A),又知上式等价于∑口(6+c)+12rAI-[(6+c)-《2Z(c+口)(口+6)6c即4~(c+aXa+b)bc-12srYI(b+c)_[∑(6+c)口]o(21)上...