卓越联考数学模拟试题（2）一、选择题1．已知是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，则（）（A）（B）（C）（D）2．为虚数单位，设复数满足，则的最大值为（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）3．在正三棱柱中，底面边长与侧棱长均等于，且为的中点，则点到平面的距离为（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）4．如图，内接于，过中点作平行于的直线，交于点，交于点，交在点处的切线于点，若，，，则的长为（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）FPlOGEDCBA5．设是坐标平面按顺时针方向做角度为的旋转，表示坐标平面关于轴的镜面反射，用表示变换的复合，先做，再做；用表示连续做次的变换，则是（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）二、填空题6．若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为.7．函数的值域为.8．设点在内部，点，分别为边，的中点，且，则．9．设曲线与轴所围成的区域为，向区域内随机投一点，该点落在内任一小区域的概率只与该小区域的面积成比例，则该点落入区域内的概率为．三、解答题10．设，是从集合中随机选取的数.（1）求直线与圆有公共点的概率；（2）设为直线与圆的公共点的个数，求随机变量的分布列及数学期望.11．如图，是的直径，弦垂直于点，是延长线上一点，，，，是的切线，是切点，与相交于点.（1）求线段的长；（2）连接，判断是否平行于，并证明你的结论.OMGFEDCBA12．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，，.（1）证明平面平面；（2）若，求二面角的正切值.DCBAP13．设抛物线的焦点是，，是抛物线上互异的两点，直线与轴不垂直，线段的垂直平分线交轴于点，记.（1）证明是与的等差中项；（2）设，直线平行轴，且被以为直径的动圆截得的弦长恒为定值，求直线的方程.14．已知函数，其中是非零实数，.（1）求的单调区间；（2）若，设，，，，且，，.证明：；（3）若有极小值，且，证明：.15．设数列的前项和为，，，其中，是正整数，且，.（1）证明为等比数列；（2）设，两项均为正整数，其中.（ⅰ）若，证明整除；（ⅱ）若存在正整数，使得，，证明.【答案与解析】1.A2.C【解析】，所以的最大值为．故选Ｃ．3.D【解析】建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，则即令，则,,.设点到平面的距离为，则．故选Ｄ．4.B【解析】因为，切于点，所以，又，所以，zyxC1A1EB1BCA因而.因为，，所以.由相交弦定理得，则，所以，于是，又，由切割线定理得，所以．故选Ｂ．5.D【解析】如图，在平面直角坐标系中，作一个以轴为对称轴的正边形，则各边所对的圆心角为，于是题设的变换是如下的操作：，而变换是，所以．故选Ｄ．6.7.8.9.10.【解】直线与圆有公共点圆心到直线的距离小于等于圆的半径，由此可知符合题意的整数的取值为当，一共有19种符合题意的取法，而的所以可能的取法有25种，所以直线与圆有公共点的概率为.（2）随机变量的分布列如下：012OyxFGEDCBAP数学期望=.11.【解】（1）连接，因为是的直径，弦垂直于点，所以由勾股定理求得.由求得，利用切割线定理得.由弦切角定理得.又因为，所以，所以，所以.（2）连接，，如果平行于，则，所以是的直径，且.，，矛盾，所以假设不成立，不平行于.12.【解】（1）取，连接，则.又因为，所以，所以四边形，所以.因为侧面底面，，，所以，所以.在易求得，所以.又因为，所以，所以平面平面.（2）以所在的直线为轴，轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，易求得点的坐标分别为，从而，设平面的法向量为，由得即令，解得，同理解得平面的法向量为，所以二面角的余弦值为，二面角的正切值为.13.【解】（1）设点的坐标分别为，则线段中点E的坐标为，且.利用抛物线的第二定义可知.由，将代入并注意到可将上式化简得：，即是与的等差中项.（2）当时，.设直线的方程为，以为直径的动圆的圆心为点，因为点到直线的距离为，所以.若直线被以为直径的动圆截得的弦长恒为定值，即不依赖于的变化，所以，此时，所以直线的方程为.14.【解】（1），当时，在和上分别单调递减；当时，在和上分别单调递增；在和上分别单调递减.（2）由知.由，，知中至多有一个为负...