5.1.15.1.2第一课时变化率问题与导数的概念[A级基础巩固]1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线解析：选D当f(x)＝b时，瞬时变化率Δx→0＝Δx→0＝0，所以f(x)的图象为一条直线．2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b解析：选Cf′(x0)＝Δx→0＝Δx→0(a＋b·Δx)＝a.3．如果质点A按照规律s(t)＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81解析：选B∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2.∴＝18＋3Δt.∴Δt→0＝Δt→0(18＋3Δt)＝18，故应选B.4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0解析：选Cf′(0)＝Δx→0＝Δx→0＝Δx→0(Δx－3)＝－3.故选C.5．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是()A．v甲＞v乙B．v甲＜v乙C．v甲＝v乙D．大小关系不确定解析：选B设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．6．已知函数y＝f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.解析：∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，∴＝＝－t.又∵＝2，∴t＝－2.答案：－27．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.解析：∵f′(1)＝Δx→0＝Δx→0＝a，∴a＝2.答案：28.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________．解析：1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，由图象知kOA＜kAB＜kBC.答案：1＜2＜39．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________米/秒．解析：选C∵Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－1＋3－32＝Δt2＋5Δt∴＝5＋Δt，∴当t＝3时，瞬时速度是Δt→0(5＋Δt)＝5米/秒．答案：510．已知函数y＝f(x)＝求f′(4)·f′(－1)的值．解：当x＝4时，Δy＝－＋＝－＝＝.∴＝.∴f′(4)＝Δx→0＝Δx→0＝＝.当x＝－1时，＝＝＝Δx－2，由导数的定义，得f′(－1)＝Δx→0(Δx－2)＝－2，∴f′(4)·f′(－1)＝×(－2)＝－.[B级综合运用]11．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足lim＝－1，则f′(0)＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：选B∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝Δx→0＝Δx→0＝－1，故选B.12．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于()A．－4B．2C．－2D．±2解析：选Df′(x)＝Δx→0＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.13．一物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.解析：＝＝7Δt＋14t0，当Δt→0(7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝.答案：14．子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，子弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解：位移公式为s(t)＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，∴＝at0＋aΔt，∴Δt→0＝Δt→0＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.[C级拓展探究]15．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．(1)Δx→0；(2)Δx→0.解：(1)Δx→0＝－mΔx→0＝－mf′(x0)．(2)原式＝Δx→0＝Δx→0－Δx→0＝4Δx→0－5Δx→0＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．