基于有理插值样条的非线性回归算法徐群(合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009)摘要:非线性回归问题的近似解法,通常采用Gauss2Newton迭代法。鉴于非线性回归问题的特点,用有理插值函数逼近方法也得到了较好的结果。文章利用基于函数值的带参数的有理插值样条逼近非线性回归模型,给出计算回归方程的一种算法。实例表明,所给方法拟合程度高,回归方程有效性显著,且在预测方面也有较好的效果。文章编号:100325060(2009)0821290203中图分类号:TP391文献标识码:AAmethodofnonlinearregressionbasedonrationalinterpolationsplineXUQun(SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China)Abstract:TheapproximatemethodofnonlinearregressionisusuallytheGauss2Newtonmethod.Inviewofthecharacteristicsofthenonlinearregressionproblem,rationalinterpolationfunctionapproxi2mationmethodscanbeappliedandbetterresultshavebeengotten.Inthispaper,anewmethodofnonlinearregressionhasbeenderivedthatdependsontherationalinterpolationsplinebasedonfunc2tionvalues.Andthearithmeticoftheregressionequationisalsogotten.Theresultsofexamplesshowthatthemethodhasahighfittingdegree,thevalidityoftheregressionequationisnotable,andthemethodalsohasfairlygoodeffectintheforecast在统计计算及统计计量分析中,经常会遇到非线性回归问题,其一般模型为:y=φ(x,θ)+ε。其中,θ,ε分别为d维参数向量及随机变量,E(ε)=0,var(ε)=δ2。解决非线性回归问题通常采用线性化方法,即将非线性问题转化为线性问题处理。对于线性化问题,最小二乘法是常用的有效方法。而对不能转化为线性的所谓纯非线性问题,通常采用Gauss2Newton迭代法[1]。鉴于用有理函数逼近非线性函数的有效性,文献[2,3]用有理插值函数对非线性回归逼近进行了研究,取得了较好的效果。本文利用基于函具体算法,并用实例说明,所给算法与已有算法相比具有更好的逼近效果。基于函数值的带参数有理样条有理样条是多项式样条的推广形式,文献[4]对有理样条进行了系统的介绍。文献[5,6]对基于函数值的一种有理插值样条进行了讨论,并给出了一些有应用价值的结果。在区间[a,b]上给定插值点及函数值(xi,yi),i=1,2,⋯,n,使得a=x1<x2<⋯<xn=b1对区间[a,b]上的任一点x,令λ=(x-xi)/hi。对任一yi,构造在[xi,xi+1],i=1,2,⋯,n-2上的一元有理插值为:收稿日期:2008209225;修改日期:2008211226基金项目:安徽省自然科学基金资助项目(070416227);合肥工业大学学生创新基金资助项目(3i=1,2,⋯,m-1,构造插值函数:=pi(x),P3(i=1,2,⋯,n-2(1)iq(x)P33),i=1,2,⋯,m-1,ii其中,p3+λ(1-λ)2V3(1-λ)3βiyi(x)=+其中,p33i(x),qi(x)同(1)式。iiλ2(1-λ)W3i+λ3yi+1;q3()=(1-λ)βi+λ。并x(3)取适当的βi>0,i=1,2,⋯,m-1,得到i且,V3i=(βi+1)yi+βiyi+1;W3i=(βi+2)yi+1-[x33i,xi+1],i=1,2,⋯,m-1上的确定函数hiΔ31。这里βi>0,Δ3i=(yi+1-yi)/hi。P33i(x)=Pi(x,βi),即为[a,b]上的插值函数。i+这种插值被称作基于函数值的一元有理插值,它满足:此时,该插值函数为观测数据(xi,yi),i=1,2,⋯,n所得的非线性回归方程。如果需要对所观测现象进行预测,只需在上p3(xi)yi,pi(xi+1)==yi+1,ip3′=Δi,pi(xi+1)=Δi+1。33′3(xi)述步骤(1)中构造新样本点x33m+1时,改变hm-1,以i显然,插值函数P3(x)在[xi,xi+1]上对插使得预测点位于最后一个插值区间内,即可得到预测信息。在计算新样本点时,可以根据需要,选择已知数据中的若干数据进行插值,得到更复杂的函数,从而获得新样本点,也可以选择某个较接近被逼近函数的已知函数来计算新样本点的i数据(xi,yi),i=1,2,⋯,n和参数βi是惟一的。2样条逼近算法一般一元非线性回归模型为:y=φ(x,θ)+ε(2)其中,θ=(θ1,θ2,⋯,θr)为未知参数向量;ε为随机误差变量,E(ε)=0,var(ε)=δ2。采用上述基于函数值的一元有理插值样条对φ(x,θ)进行逼近,即寻求有理插值样条:数值例子晶体振荡器频率中热敏网络电压V与温度T的非线性关系为[7]:3P11i(x)=φi(x,θ),i=1,2,⋯,n-1,293TV=11确定参数β的具体值,即可求得所需回归模型...