浅谈正规子群的判定条件2010年2月第29卷第2期绵阳师范学院JournalofMianyangNormalUniversFeb.2010Vol.29No.2浅谈正规子群的判定条件陈惠汝，蓝新华(1潢冈师范学院数学与信息科学学院，湖北黄州438000;2,贺州学院数学系，广西贺州542800)摘要:正规子群的判定在群论屮具有重要的实际意义,判断子群是否为正规子群有多种方法•该文在已有正规子群判定结论和方法的基础上，从正规子群的定义出发给出了几个新的〜Lif・群的判定条件，使得正规子群的判定简单易行.关键词:群;子群;正规子群屮图分类号:0171文献标识码:A文章编号:1672-612x(2010)02-0022-03正规子群是群论中非常重要的子群，也叫不变子群•它在研究群可解性，同构分类等方面扮演着尤为重要的角色.对于群G,如何确定子群日为G的正规子群对于判定G是否可解起到关键作用•所以讨论子群成为正规子群的条件也显得非常的重要，文献.对其作了一定的探讨.本文在此基础上从正规子群的定义出发，给出了子群成为正规子群的若干条件.已有的简单结论列出如下：(1)群G的两个平凡子群｛e｝与G都是G的正规子群；(2)交换群的任一子群都是正规子群；(3)群G的中心C(G)是G的正规子群，且C(G)的任一子群也是G的正规子群；(4)两个正规子群的交(积)仍为正规子群；(5)群G的指数为2的子群必是G的止规子群；(6)n次交错群是n次对称群的正规子群下面给出正规子群的一些判别条件：定理1JG为任意的群，日为G任一子群，那么以下四个条件是等价的：(l)gH二月奢,VgeG;(2)g月-=H,VgeG;(3)g/-/g-lH,VgeG;(4)ghg_.GH,VgeG;heH定理2设日是群G中给定阶的唯一子群，则日是G的正规子群.证明任取gWG,固定g,于是g如是G的子群.设样H=n,于是#仗电)二n.cb题设,g~Hg=日，则日是G的正规子群.定理3设是群G的子群，且的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集.则IV是c的一个正规子群.证明aH?bH=cH,故aebe^aHbH:cH.因ab^cH,故abH=cH.VaG,alia一H=aa〜H二，所以aliaealia〜H二H,即aliaeH,故是的一个正规了群.推论I・8J设是群G的子群，若G关于H的左(右)陪集对子集乘法构成群.则是G的正规子群定理4一个群G的可以写成ab-2ab形式的元素称为换位子,则所有的有限个换位子的乘积作成的集(有限个换位子的乘积作为元素)C是G的一个正规子群.证明e=e—e〜ee,故e^C,即C非空.有限个换位子的乘积与有限个换位子的乘积述是有限个换位子的乘积，故C关于G的乘法是封闭的.因为(abab)〜二6〜a・lba,于是换位子的逆还是换位子.所以有限个换位子的乘积的逆还是有限个换位子的乘积，故VcGC,有C〜GC.因此,C是G的子群.收稿日期：2009.11-30作者简介:陈惠汝(1978—)，女，讲师，主要研究方向:基础数学.第2期陈惠汝等:浅谈正规子群的判定条件?23?Vc丘C,gcG由于g_.c~gcwC,所以(g—cgc)c~wC,故g—egwC,g_.cgcC,即C是G的正规子群.定理5设为群G的子群，为G中满足条件aH=Ha的所有元素a作成的集,则是的正规子群.证明因为H是G的子群,VhG日,hH二Hh二H,于是有he日k.V口,bGK,艮卩aH二Ha,bH二Hb,于是有：(口6)H=0(bH)=n(Hb)=(an)b=H(ab),即abIt.由于aH=Ha-Ha〜二口・1日口〜w因此K是G的子群.由于FI是的子群，并且V0丘K,有aH二Ha,所以H是的止规子群.定理6设IV是群G的正规子群,H是G的任意子群，则RnIV是R的正规子群.证明口nIV口且HnIV是非空的.Vx,YeHnAk,YeH„Y「二wH,xyeN,-lEH，—.eJ7v=eHnN,_.eHnN,所以nIV是日的子群.VEHnN,heGH,eI\^A〜xhWH,h_.xh丘IV二危一xhEHnN,即日nIV是日的正规子群.引理1[9设口,K是群G的两个有限子群，则#(戶葛定理7[.设G使一个有限群且IGl=pokok-p2k2-km,其中p(i=O丄2,…,m)为互不相同的素数，乂设是G的一个子群且fl二p:k2・・・k,如果P>kO\〜=1,2,…,m),则是c的一个正规子群.定理8设P,q是两个不同的素数,G是pg阶群,P<q,则G的q阶子群是正规子群.证明设是G的q阶子群，因为q是素数，故日是循环群.设H二(口)，于是口的阶为g.假定日不是的正规子群jeG,使〜岳日，记X・1似,b和口的阶相同，于是K:(6)也是q阶子群.因为日n是日与的子群，由拉格朗日定理，日nK的阶为1或g・若n的阶为qj!9=，这与6矛盾,P)i:l~#(HfqK)=l,由引理知存()==}=q.但眯G,j(lj#(HK)=q>Pq=#G所以矛盾•因此Fl是G的止规子群.定理9[m设G...