.数学实验特征值与特征向量数学实验报告学院：级：班号：学姓名：完成日期：矩阵的特征值与特征向量实验六问题一一．实验目的掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和1.理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；2.所描述的动力系统的长期行为或x=Ax3.理解由差分方程kk+1演化；.4.提高对离散动力系统的理解与分析能力二．问题描述时，是确定该0.125被捕食者问题中的捕食参数-p是当捕食者猫头鹰和森林树的数量随着。（给出X的计算公式）动态系统的演化k该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系?时间如何变化系统会如何变（例如出生率或者捕食率）统的某个方面有轻微变动，化？三．问题分析将线性变xAx的作用分解为易于理解的成分，其中特征k值与特征向量是分析离散动态系统的关键。根据已知信息，找到系统对应的差分方程x=Ax，求出A的kk+1特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。．四．实验过程A=0.5问题对应的差分方程为x=Ax，其中0.4kk+1-0.1251.1，演化过程求解如下：第一步：求A的特征值和对应的特征向量。利用如下的代码即可获得：A=[0.50.4;-0.1251.1];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda=1.00000.6000A的特征向量pc=-0.6247-0.9701-0.7809-0.2425显然，这两个特征向量（即pc的第一列和第二列）是线性无关2的一组基，为消除小数，选取的，它们构成RV=4V=4P=44P﹣1AP=1.000210.60015152的一}是R表示x和x,k=1,2….因为{V，V第二步：V用和V2K2101使得和c,组基，所以存在系数c21.VV+cx=c21102的特征向量，所以u=0.6=1.0λ，因为V，V为矩阵A对应于21V，于是VAV=λ，AV=λ2112.+cuVX=Ax=A(cV+cV)=cVλ212011112222.V+c)=cuVX=Ax=A(cV+cVλλλ2111211222一般地，kk.uVV+cX=cλ22k11kk….k=0,1,2,3(1.0)44+c(0.6)=c2151当k趋近于无穷大时，0.6^k趋近于0，假定c1>0,则对于所有足够kV，写为近似地等于，xkc(1.0)大的k11k4≈c1(1.0)Xk5K越大，近似程度越高，所以对于足够大的k，k+14X≈c1(1.0)k+15=Xk4X约为可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当,而且k5的只老鼠。5000只猫头鹰对应着4倍数，所以每第三步：解的图像表示，见图8-1，其中绿色圆圈代表初始点x，0红色圆点代表迭代序列，箭头代表迭代方向，蓝色直线代表特征向量V，V所在的直线。在图8-1中，圆点为鞍点，排斥最快的方向为21过圆点和特征向量V的直线方向。其中V对应的特征值得绝对值为111.如果x在这条直线上，则表示c等于0，且X始终在原点。吸引k02最快的方向由特征向量V决定，其对应的特征值的绝对值大于1.2相应的代码如下：%P8_1.m-捕食者被捕食者解的图像表示%clear,clca=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1;n=100;xlabel('|\lambda|=1,|u|<1')axis([abcd]),gridon,holdonx=linspace(a,b,30);A=[0.50.4;-0.1251.1];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)pc=-pc;z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x;h=plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7),z1(7)-100,'v1')h=plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2')button=1;whilebutton==1[xi,yi,button]=ginput(1);plot(xi,yi,'go'),holdonX0=[xi;yi];X=X0;fori=1:nX=[A*X,X0];h=plot(X(1,1),X(2,1),'R',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-');holdontext(X0(1,1),X0(2,1),'X0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend五．结论与分析因为当k趋近于无穷大时，0.6^k趋近于0，所以取1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。当出生率下降或者捕食率增大，或者相反的情况，该平衡状态就会被打破。直到重新平衡或者系统完全崩溃。问题二一．实验目的矩阵的对角化等概念和理论；特征向量、特征方程、1.掌握特征值、掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；2.所描述的动力系统的长期行为或演...