2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点36导数中的证明与探索性问题【自主热身，归纳总结】1、（2017江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：；2、(2017镇江期末）已知函数f(x)＝，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．(1)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；(2)若λ＝，且x≥1，证明：f(x)≤g(x)；3、(2017南京、盐城二模）已知函数f(x)＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R.(1)若a＝e，函数g(x)＝(2－e)x.①求函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；②若函数F(x)＝的值域为R，求实数m的取值范围．(2)若存在实数x1，x2∈[0,2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，求证：e－1≤a≤e2－e.4、(2017扬州期末）已知函数f(x)＝g(x)·h(x)，其中函数g(x)＝ex，h(x)＝x2＋ax＋a.(1)求函数g(x)在(1，g(1))处的切线方程；(2)当0＜a＜2时，求函数f(x)在x∈[－2a，a]上的最大值；(3)当a＝0时，对于给定的正整数k，问函数F(x)＝e·f(x)－2k(＋1)是否有零点？请说明理由．(参考数据e≈2.718，≈1.649，e≈4.482，ln2≈0.693)【问题探究，变式训练】题型一、与零点、极值点有关的证明利用导数证明不等式的常规解题策略：(1)构造差函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据差函数的导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；(2)根据条件，寻找目标函数．一般思路为充分利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换等手段将多元函数转化为一元函数．例1、(2019无锡期末）已知函数f(x)＝ex－x2－ax(a>0)．(1)当a＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2)若函数y＝f(x)恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值，求证：<【变式1】、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝＋(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.①求实数a的取值范围；②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.【变式2】(2018常州期末）已知函数f(x)＝，其中a为常数．(1)若a＝0，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)<－2.．【变式3】(2017南京学情调研）已知函数f(x)＝ax2－bx＋，a，b∈R.(1)当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；(3)当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点是x1和x2(x1＜x2)，求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2.【变式4】(2018南京、盐城一模）设函数f(x)＝，g(x)＝ax＋－c(a，b，c∈R)．(1)当c＝0时，若函数f(x)与g(x)的图像在x＝1处有相同的切线，求a，b的值；(2)当b＝3－a时，若对任意x0∈(1，＋∞)和任意a∈(0，3)，总存在不相等的正实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求c的最小值；(3)当a＝1时，设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点．求证：x1x2－x2<b<x1x2－x1.题型二探索性问题探索性问题论证可以运用反证法，假设存在，解题的难点在于导出矛盾，根据已知条件，得到方程解的问题，通过构造函数，研究函数的单调性，得到方程不成立，从而与假设矛盾，证得结论．例2、(2019南京、盐城一模）若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x3－tx2＋1(t∈R)．(1)若函数f(x)在(0，1)上无极值点，求t的取值范围；(2)求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行；(3)当t＝3时，函数f(x)的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组．【变式1】(2019苏州三市、苏北四市二调）已知函数f(x)＝2lnx＋x2－ax，a∈R.(1)当a＝3时，求函数f(x)的极值；(2)设函数f(x)在x＝x0处的切线方程为y＝g(x)，若函数y＝f(x)－g(x)是(0，＋∞)上的单调增函数，求x0的值；(3)是否存在一条直线与函数y＝f(x)的图像相切于两个不同的点？并说明理由．【变式2】(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底...