北京工大附中由一道几何题引发的思考旋转变换习题课张椿2012/4/19【教材分析】旋转是初中学段学习的最后一种图形的全等变换，与平移、轴对称相结合在几何的推理证明中起着举足轻重的作用，尤其在作辅助线、寻找全等三角形中的作用及其突出.本章的位置是在四边形和勾股定理之后，因此很多中考中的四边形以及直角三角形的题目已经可以从图形变换的角度来思考.这节课就是在学习了旋转变换之后，为了培养学生用运动变化的视角观察、分析问题以及提高归纳、概括能力而设计的，同时在逐步弱化题目条件的探究过程中让学生体会从特殊到一般的、逐步揭示事物本质的方法.【学情分析】学生已经学习了平移、轴对称和旋转三种图形变换，并且在解题过程中能够看出哪些图形是经过这三种变换改变了位置，进而找到相应的全等三角形；也能通过这三种变换作简单的辅助线，构造全等图形，并且在解题过程中逐渐具备了一定的观察、抽象和分析能力。然而，图形变换是一种运动变化的过程，这对于习惯了研究静态图形的学生---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---[在此处键入文档摘要。摘要通常为文档内容的简短概括。在此处键入文档摘要。摘要通常为文档内容的简短概括。]来说仍是难点，另外学生运用精确的语言进行归纳、概括的能力仍有待提高.【教学目标】1、了解证明线段和、差的题型的辅助线作法.2、通过阅读相关材料、思考问题，体会几何变换在解题时作辅助线、构造全等三角形的作用.3、能够模仿阅读材料中的证明过程，写出比较严谨、详尽的几何推理过程.4、通过一系列一般化题目条件的探究过程，提高观察、分析、概括能力，体会从特殊到一般的、逐步揭示事物本质的方法.【教学重点】探究使得题目的结论成立的一般化条件，以及在探究过程中的辅助线作法和几何推理过程.【教学难点】使得题目的结论成立的一般化条件的探究过程.【教学过程】一、课前预习：认真阅读以下材料，思考并回答问题.（学生提前预习，课上小组交流、讨论，学生补全证明过程并回答问题）已知：如图1-1，正方形ABCD中，点M、N分别在BC、DC边上，BM＝DN，且∠MAN＝45°，连接MN.求证：BM＋DN＝MN．分析：本题的结论是线段和的形式，通常解决这种问题的辅助线方法是：截长法或补短法.证法一：截长法如图1-2，作AE⊥MN于E，只需证明BM＝EM，DN＝EN即可。由正方形的性质易证△ABM≌△AND，从而∠1＝∠2＝（90°—∠MAN）÷2＝22.5°，AM＝AN，由三线合一得∠3＝∠4＝22.5°，所以∠1＝∠4，∠2＝∠3；由角平分线的性质可得BM＝EM，DN＝EN，所以MN＝ME＋NE＝BM＋DN.证法二：补短法如图1-3，延长CB至点F，令BF＝DN，连接AF，只需证明FM＝MN即可。---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---NMBCAD图1-1321FNMBCAD图1-33421ENMBCAD图1-2由正方形的性质易证△ABF≌△ADN（体现了旋转变换，即把△AND绕着点A顺时针旋转90°得到△ABF），从而AF＝AN，∠1＝∠2，所以∠FAM＝∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝90°—∠MAN＝45°，得∠FAM＝∠MAN，进而可证明△AMF≌△AMN，所以MN＝MF＝BM＋BF＝BM＋DN.☆问题1：在以上两种证明过程中，用到了哪些正方形的性质？AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°（具体列举）☆问题2：在上述两种证明过程中，你发现了哪几种图形变换？轴对称和旋转变换（动态演示）☆问题3：在证法二中，用到了所有题目条件了吗？没有用到哪个条件？如果去掉这个条件，图形会有什么变化？在图1-4中画出变化后的图形，重新设计此题，并进行证明.（学生小组交流，展示研究成果，互相补充、完善）变式1：已知：如图1-4，正方形ABCD中，点M、N分别在BC、DC边上，且∠MAN＝45°求证：BM＋DN＝MN．证明：BM＝DN的条件没有用到，注意图形中要强调.可能有学生会选用证法一，可以展示，让学生找错误.你用的是哪种证法？两种证法都能证明此题吗？为什么？证法一不能证明此题，从辅助线的作法看，无论是作垂线段还是直接截取都缺少全等的条件.二、深入探究变式2：已知：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠B＋∠D＝180°，点M、N分别在BC、DC边上，∠MAN＝45°，连接MN.线段BM...