特殊无穷维矩阵Hamilton算子的探讨方贾利东，任文秀，张育红(内蒙古工业大学理学院，呼和浩特010051)摘要：木文在原有标量Hamilton算子的基础上，构造且证明了三类不同阶数的矩阵Hamilton算子的形式,并得到以上算子与己给定的Hamilton算子形成了三个特殊Hamilton算子对的结论，同时总结了本文工作的不足与困难.关键词：微分形式；无穷维矩阵Hamilton算子;Hamilton算子对中图分类号:0175文献标识码:A0引言近年来，对于发展方程而言，专家们更热衷于它的另一种形式，即其无穷维Hamilton体系，且该系统往往对孤了系统,超动力系统,超守恒律,孤波解等科研领域的分析与研究起肴至关重要的作用.因此，将发展方程化为无穷维Hamilton形式成为首要问题.而无穷维Hamilton系统主要由Hamilton算子决定，于是我们描述Hamilton算子的形式显得尤为重要.在国内外，关于无穷维Hamilton算了研究状况如下:第一,Weinstein给出了证明达布定理的想法，即先将Hamilton算了转换成常系数的，再将其化为正则形式，详见文献[1];第二,OlverP.J.和D.B.Cooke.研究了低阶标量Hamilton算子的形状，详见文献[1,2];第三,D.Talati,R.Turhan等学者给出了某些方程拥有双Hamilton结构，同时还讨论了算了对的相容性条件.详见文献[3,4,5,6];第四，黄俊杰等人研究了Hamilton算子的谱.详见文献[7]等.考虑无穷维Hamilton系统的问题，学术界常常类比有限维Hamilton系统的研究方法，用到的研究手段是：泊松括号与微分形式•其中判断无穷维Hamilton算了成立的难点就是需要验证其雅克比恒等式这个条件的满足.由于对于无穷维Hamilton算子开展工作，计算过稈如果用到泊松括号，一般都很繁琐，故本文主要利用微分形式的语言来探讨.于是我们第一步工作是对本文中用到的低阶标量微分算了做出讨论：算子D=f・Dx・f成为Hamilton算子的条件进行了探讨；算了K=D：+PD、+Q成为候选Hamilton算子的必要条件进行了分析；第二步工作是在此基础上构造了二、三阶矩阵Hamilton算子，以及给其Hamilton算子找到了相应的特殊算子进而形成Hamilton算子对.收稿日期：作者简介：贾利东(1984-),男，计算数学专业，研究方向：应用数学，2011级在读硕士研究生.通讯联系人：任文秀副教授，renwenxiu2003@hobnai1.com基金项目：内蒙古自然科学基金项目(NO.2014MS0115)1本文主要结果在对标量微分算子的己有结论进行总结和推广的基础上，详见文献[8].木节主要构造出三个矩阵Hamilton算子的形状，进而研究了Hamilton算子对.1.1矩阵Hamilton算子的讨论木小节基于标量Hamilton算了D,K的启发，主要阐述三类矩阵Hamilton算了的形状.具体结论如下：命题1若算了0具有以下形式D；='(dJ(pq+d)、'DxDjP-D；、Jot.p-D；y(2eDv+Dv(e))\[PDX^D；2QDx+Dx(Q))"D\其中p=p(n),e=e(v),^=ev则0—定是Hamilton算子.证明：由于算了0满足下式故算了0为斜伴随算了.下证算子满足下面的式了D,对应的泛函双向量为其中，0和§是分别对应于"和卩的单位向量.由于'a+2（p）§+號-鼻、，叫+无+2Q©+2（Q）纣因为Pip(P)=此何+2(P)g+號-鼻)(q)=qv(Pdx+exx+2的+2(Q)§)从而p叫(®)=訂化W"厂久心"j+2(pqWx+q,w)店訂化(號心"•-鼻心“)+2(-號心"+鼻心")治"因此,当p=p(u),e=e(v),^=ev时，D为Hamilton算子.命题2若算了D.具有以下形式D2=fDJ证明:首先证明》2为斜伴随算了0(gQg)其中则0—定是Hamilton算子.如次，验证算了D?满足下面的式了P畑9)=0该算了所决定的泛函双向量为其中，&和g是分别对应于it和v的单位向景.0+如+2吃+"丿由于prv%(厂)=2加(严q+瓦叩)卩叫(S2)=2gg”(g迄+gg.yj)所以pw%)=o因此当/=/(”),g=g(v)时，D2为Hamilton算子.命题3若算了Z)3具有以下形式'002、2=02040D；+2P2+Q丿其中，D\(P)=Q,P=Pg则Z)3一定是Hamilton算了.证明：因为算了满足：厂00-Dx、D；=0-00fJQ0—D；—2P0—2Q(P)+Q丿所以算了r>3为斜伴随算了.于是只需证明算了•d?满足下式PrVD^(0)=O算了D3的泛函双向量为其中，e,g是分别对应于w,v,w的单位向量.由于(0\Q=—atx+a+ra/9v+rarvu.+2Pratx+Qt/\r]dx又因为从而P“60(®)=|J{2£wATAtx}dx=o即，当D,(P)=Q,P=P(«)时，0为Hamilton算子.1.2矩阵Hamilton算子对的结论本小节在上一节...