解读IEEE标准754：浮点数表示如须转载请注明作者为Lolita@linuxsir.org，并请保持文章的完整和提供转载出处。更新：20060623-06:44增加了求最大非规格数的公式20060622-23:40修改了几处笔误，换掉了实验部分的那张大图，改用代码显示。一、背景在IEEE标准754之前，业界并没有一个统一的浮点数标准，相反，很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则，以及运算细节。那时，实现的速度和简易性比数字的精确性更受重视。直到1985年Intel打算为其的8086微处理器引进一种浮点数协处理器的时候，聪明地意识到，作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们，也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。于是Intel在请加州大学伯克利分校的WilliamKahan教授──最优秀的数值分析家之一来为8087FPU设计浮点数格式;而这个家伙又找来两个专家来协助他，于是就有了KCS组合（Kahn,Coonan,andStone）。他们共同完成了Intel的浮点数格式设计，而且完成地如此出色，以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的标准浮点格式。目前，几乎所有计算机都支持该标准，大大改善了科学应用程序的可移植性。二、表示形式从表面上看，浮点数也是一串0和1构成的位序列(bitsequence)，并不是三头六臂的怪物，更不会咬人。然而IEEE标准从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N,如下图所示：N的实际值n由下列式子表示：其中：★n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。★S(sign)表示N的符号位。对应值s满足：n>0时，s=0;n<0时，s=1。★E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。对应值e值也可正可负。★M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）,甚至被称作“小数”。三、浮点数格式IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。★单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。★双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。值得注意的是，M虽然是23位或者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数，也就是说，假定M为“010110011...”,在二进制数值上其实是“.010110011...”。而事实上，标准规定小数点左边还有一个隐含位，这个隐含位通常，哦不，应该说绝大多数情况下是1，那什么情况下是0呢？答案是N对应的n非常小的时候，比如小于2^(-126)(32位单精度浮点数)。不要困惑怎么计算出来的，看到后面你就会明白。总之，隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是"m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...”四、计算e、m首先将提到令初学者头疼的“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”。噢，其实并没有这么难的，跟我来！掌握它以后你会发现一切都很优雅,更美妙的是，规格化、非规格化本身的概念几乎不怎么重要。请牢记这句话：规格化与否全看指数E！下面分三种情况讨论E，并分别计算e和m:1、规格化：当E的二进制位不全为0,也不全为1时，N为规格化形式。此时e被解释为表示偏置（biased）形式的整数,e值计算公式如下图所示：上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则|E|=132,e=132-127=5。k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。此时m的计算公式如下图所示：标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。如M="101"，则|1.M|=|1.101|=1.625,即m=1.6252、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。此时e，m的计算都非常简单。注意，此时小数点左侧的隐含位为0。为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。后文我们还会继续讨论。有了非规格化形式，我们就可以表示0了。把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了-0.0;同理，把所有位均置0,则得到+0.0。非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(graduallyunderflow)”属...