第五单元数列第28讲数列的概念与简单表示法课前双击巩固1.数列的有关概念有关概念定义数列按照排列的一列数数列的项数列中的数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与之间的关系式前n项和数列{an}中,Sn=2.数列的表示法表示法定义列表法通过表格表示n与an的对应关系图像法用平面直角坐标系内的y轴一系列孤立的点表示公式法通项公式an=递推公式an+1=f(an);an+1=f(an,an-1)3.数列的分类分类原则类型满足条件单调性递增数列n∈N*递减数列常数列an+1=an周期性周期数列对n∈N*,存在正整数常数k,使an+k=其他标准有界数列存在正数M,使摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项4.an与Sn的关系已知数列{an}的前n项和Sn,则an={S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.常用结论求数列的最大(小)项,一般可以利用数列的单调性,即用{an≥an-1,an≥an+1(n≥2,n∈N*)或{an≤an-1,an≤an+1(n≥2,n∈N*)求解,也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解.题组一常识题1.[教材改编]已知数列的前几项为1,-322,532,-742,则该数列的一个通项公式是.2.[教材改编]已知数列{an}满足an=(n-λ)2n(n∈N*),若{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是.3.[教材改编]在数列{an}中,若a1=1,an=1+1an-1(n≥2),则a3=.题组二常错题◆索引:忽视数列是特殊的函数,其自变量为正整数集N*或其子集{1,2,…,n};求数列前n项和Sn的最值时忽视项为零的情况;根据Sn求an时忽视对n=1的验证.4.在数列-1,0,19,18,…,n-2n2中,0.08是它的第项.5.在数列{an}中,an=-n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,n=.6.已知Sn=2n+3,则an=.课堂考点探究探究点一根据数列的前几项求数列的通项公式1(1)数列{an}的前几项为12,3,112,8,212,…,则此数列的通项公式可能是()A.an=5n-42B.an=3n-22C.an=6n-52D.an=10n-92(2)数列32,-54,78,-916,…的一个通项公式为()A.an=(-1)n·2n+12nB.an=(-1)n·2n+12nC.an=(-1)n+1·2n+12nD.an=(-1)n+1·2n+12n(3)数列{an}的前几项为7,77,777,7777,…,则此数列的通项公式可能是.[总结反思]由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略:(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.同时也可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n,3n等形式递增;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1,n∈N*来处理.式题(1)数列152,245,3510,4817,6326,…的一个通项公式为.(2)数列13,-45,97,-169,…的一个通项公式可以为.探究点二由an与Sn求通项公式an2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+n2+1(n∈N*),则通项公式为an=.(2)已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=12,则通项公式为an=.[总结反思]已知Sn求an的常用方法是利用an={S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2转化为关于an的关系式,再求通项公式.主要分三个步骤完成:(1)先利用a1=S1,求得a1;(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2,n∈N*时的通项;(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2,n∈N*时an的表达式,如果符合则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.式题(1)[2017·西宁五中月考]已知数列{an}的前n项和Sn=13n2+23,则通项公式为an=.(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则数列{an}的通项公式为an=.探究点三数列的函数特征考向1求最大(小)项3(1)[2017·临川实验中学月考]已知an=n-√2017n-√2016(n∈N*),则在数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是()A.a1,a100B.a100,a44C.a45,a44D.a44,a45(2)已知数列{an}的通项公式为an=(n+1)(1011)n(n∈N*),则该数列的最大项是第项.[总结反思]求数列的最大项与最小项的常用方法:(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值,根据f(x)的类型作出相应的函数图像,或利用求函数最值的方法,...