数列、极限、数学归纳法·高考名题选萃一、选择题1．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10=[]A．12B．10C．8D．2＋log352．已知a1，a1，a2，…an为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则[]A．a1＋a8＞a4＋a5B．a1＋a8＜a4＋a5C．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5的大小关系不能由已知条件确定3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为二个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成[]A．511个B．512个C．1023个D．1024个4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N)时该命题成立，那么推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得[]A．当n=6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立5．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为[]A．130B．170C．210D．2606{a}a1nSn1n．等比数列的首项＝－，前项和为，若，则SS1053132limSnn→等于[]ABCD．．．．2323227f(n)=1n+1(nN)f(n1)f(n)．设∈，那么＋－等于121312nnn[]ABC+12n+2D．．．．121122121121122nnnnn8{a}a1nlimS=1an1n1．在等比数列中，＞，目前项和满足，那么n→a1的取值范围是[]A．(1，＋∞)B．(1，4)C(12)D(1)．，．，2二、填空题9{a}1(n1)anaaa0nn+12n2n+1n．设是首项为的正项数列，且＋－＋＝(n=1，2，3，…)，则它的通项公式是an＝________．10．lim的值为．→nnn[()]1319127113111．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．aaaaaa13924612a11=．设＞，则→limnaann11113{a}d0a0S=n1n．已知等差数列的公差＞，首项＞，，则．→111aaiininlim14．已知等比数列{an}(an∈R)，a1＋a2＝9，a1a2a3＝27，且Sn=a1＋＋…＋＝，，…，则．→aa(n12limS2nn)n15logxxxxx=323n．已知＝，那么＋＋＋…＋＋…123log16．在数列{an}和{bn}中，a1＝2，且对任意自然数n，3an+1－an＝0，bn是an与an+1的等差中项，则{bn}的各项和是________．17．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1＞0，Sn是数列{an}前n项的和．若Sn取得最大值，则n=________．三、解答题18．(1)已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn+1－pcn}为等比数列，求常数p；(2)设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．19．是否存在常数a，b，c使1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2=112n(n1)(anbnc)n2＋＋＋对一切自然数都成立？证明你的结论．20Sn．已知数列··，··，…，·，…，8113823582121225222nnn()()为其前项和，计算得，，，，观察上述结nS189242548498081234SSS果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．21．设{an}是正数组成的数列，其前n项的和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．(1)写出数列{an}的前项；求数列的通项公式写出推证过程；令∈，求＋＋…＋－．→3(2){a}()(3)b=12(nN)lim(bbbn)nn12n()aaaannnnn1122．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项的和．(1)证明lglglg()lg()lg()SSScScScnnnnn22122＜；是否存在常数＞，使得＜成立？证明你的结论．lgS(2)c0n+123．已知数列{an}，{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p，q，其中p＞q，且P≠1，q≠1，设cn＝an＋bn，Sn为数列{cn}的前项的和，求．→nlimnSSnn124．设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t＋3)Sn-1＝3t(t＞0，n＝2，3，4，…)．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2){a}f(t){b}b1bf(1)nn1n设数列的公比为，作数列，使＝，＝bn1(n＝2，3，4，…)，求bn；(3)求和：b1b2－b2b3＋b3b4－…＋b2n-1b2n－b2nb2n+1．25．已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145．(1)求数列{bn}的通项bn；(2){a}a=log(1(a0a1)S{a}nSlogbnnannnan+1设数列的通项＋其中＞，且≠，记是数列的前项和，试比较与的大小，113bn)并证明你的结论．26{a}a4a=16n24．设正数数列为一等比数列，且＝，，求…．→limlglglgnaaan...