滚动训练三(§3.1～§3.2)一、选择题1．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析e2i＝cos2＋isin2，由于<2<π，因此cos2<0，sin2>0，点(cos2，sin2)在第二象限，故选B.2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在()A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析 |z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案A解析当“a＝b＝1”时，“(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i”成立，故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分条件；当“(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i”时，“a＝b＝1”或“a＝b＝－1”，故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的不必要条件；综上所述，“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．4．设复数z＝，则z·等于()A．1B.C．2D．4考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案C解析 z＝＝＝－1＋i，∴＝－1－i，∴z·＝(－1＋i)(－1－i)＝2.5．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为()A．－1B．0C．iD．1考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案B解析 z(i＋1)＝，∴z＝＝＝－1，∴z的虚部为0.6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a等于()A．2B．－2C．±2D．－考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案B解析由题意可得＝－＋i，即＝＝＋i＝－＋i，∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B.7．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则1＝2B．若z1＝2，则1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2D．若|z1|＝|z2|，则z＝z考点共轭复数的定义及应用题点与共轭复数有关的综合问题答案D解析对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2为真；对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2为真；对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，所以z1·1＝z2·2为真；对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选D.二、填空题8．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案－2i解析设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.9．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝________.考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案解析由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|，即5|z|＝5，解得|z|＝.10．设复数z1＝i，z2＝，z＝z1＋z2，则z在复平面内对应的点位于第________象限．考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的几何意义答案一解析z2＝＝＝＝－i，z1＝i，则z＝z1＋z2＝i＋－i＝＋i.∴z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．11．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，i是虚数单位，其中a，b为正实数，则4a＋1－b的最小值为________．考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案2解析复数z＝(2a＋i)(1－bi)＝2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，∴2a＋b＝2，∴b＝2－2a.则4a＋1－b＝4a＋21－2a＝4a＋≥2＝2，当且仅当a＝，b＝时取等号．三、解答题12．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).考点复数四则运算的综合运算题点复数的混合运算解(1)＝＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.13．复数z满足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积解方...