不等式中恒成立问题求解基本策略和方法

不等式中恒成立问题求解基本策略和方法摘要:本文研究解不等式恒成立问题基本方法,得出一般性解题规律。关键词:不等式恒成立求解策略中图分类号:G63文献标识码:A文章编号:1673-9795(2013)04(c)-0105-01在不等式综合问题中,经常会遇到当一个结论对于某一参数的某一个取值范围的所有值都成立的问题,这就是不等式中的恒成立问题,这类问题综合性强,解法灵活,对思维能力要求较高,有利于考查考生的综合解题能力。解答此类问题的基本策略是:利用化归与转化思想,将未解决的问题化归转化为已解决的函数问题,利用函数的性质、图象,通过灵活的代数变形求解。基本的方法有以下几种。1最值转化法所谓最值转化法是指:形如f(x)(k)或f(x)Wg(k)的不等式对于给定范围内的一切x恒成立,求k取值范围时,可转化为与之等价的命题g(k)Wf(x)min或g(k)2f(x)max即可。例1:设x>f>z,n^N,且(x~z)(+)22a+2恒成立,则实数a的取值范围是。解:Tx>f>z,/.x-z=(x-f)+(f-z)o(x-z)(+)=[((x-f)+(f-z)](+)二2++24(当且仅当x+z二2y时取等号)。/.4^2a+2,即a0,则根据一次函数的图象(线段)可得上述结论等价于①或②也可合并成同理,若在[m,n]内恒有f(x)0f(x)4x+a~3恒成立,求实数x的取值范围。解:不等式x2+ax>4x+a-3恒成立,即(xT)a+x2-4x+3>0恒成立。令f(a)=(x-1)a+x2-4x+3,[0,4],图象是一条线段,要使f(a)>0在[0,4]上恒成立,只须满足:解得x3o故实数x的取值范围是(-,-1)(3,+)o点评:本题把变量为x的不等式看作变量为a的不等式,再利用一次函数的单调性求解。当一个不等式在一次变量的某个取值范围内恒成立,求二次变量的取值范围时,可考虑这种变量转换法。总之,求解不等式中的恒成立问题的基本思路就是化归与转化,把复杂的问题等价转化为简单的、容易解决的问题。要做到正确的、灵活的转化,就要求同学们对典型问题的典型解法加以研究并自觉地疏理知识,形成知识板块结构和方法体系,在此过程中不断提高自己的数学解题能力。

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