费尔巴哈-费尔巴哈定理费尔巴哈定理。费尔巴哈定理描述了三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆的位置关系。是平面几何学中十分优美的定理之一。定理叙述。三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切。定理证明。设△ABC的内心为I。九点圆的圆心为V。三边中点分别为L。M。N。内切圆与三边的切点分别是P。Q。R。三边上的垂足分别为D。E。F。不妨设AB>AC。假设⊙I与⊙V相切于点T。费尔巴哈那么LT与⊙I相交。设另一个交点为S。过点S作⊙I的切线。分别交AB和BC于V。U。连接AU。又作两圆的公切线TX。使其与边AB位于LT的同侧。由假设知∠XTL=∠LDT而TX和SV都是⊙I的切线。且与弦ST所夹的圆弧相同。于是∠XTL=∠VST因此∠LDT=∠VST则∠UDT+∠UST=180°这就是说。S。T。D。费尔巴哈U共圆。而这等价于：LU×LD=LS×LT又LP2=LS×LT故有LP2=LU×LD另一方面。T是公共的切点。自然在⊙V上。因此L。D。T。N共圆。进而有∠LTD=∠LND由已导出的S。T。D。U共圆。得∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB=∠AVU-∠B而∠LND=∠NLB-∠NDB=∠ACB-∠NBD=∠C-∠B所以。就得到∠AVU=∠C注意到AV。AC。CU。UV均与⊙I相切。于是有∠AIR=∠AIQ∠UIS=∠UIP∠RIS=∠QIS三式相加。即知∠AIU=180°也即是说。A。I。U三点共线。另外。AV=AC。这可由△AIV≌△AIC得到。连接CV。与AU交于点K。则K是VC的中点。前面已得到：LP2=LU×LD而2LP=-=BP-CP=BR-CQ=-=AB-AC=AB-AV=BV即LP=BV然而LK是△CBV的中位线于是LK=BV因之LP=LK故LK2=LU×LD由于以上推导均可逆转。因此我们只需证明：LK2=LU×LD。往证之这等价于：LK与圆KUD相切于是只需证：∠LKU=∠KDU再注意到LK∥AB。即有∠LKU=∠BAU又AU是角平分线。于是∠LKU=∠CAU=∠CAK于是又只需证：∠CAK=∠KDU即证：∠CAK+∠CDK=180°这即是证：A。C。D。K四点共圆由于AK⊥KC。AD⊥DC所以A。C。D。K确实共圆。这就证明了⊙I与⊙V内切旁切圆的情形是类似的。证毕另略证：OI=R-2RrIH=2r-2Rr’OH=R-4Rr’FI=1/2-1/4OH=FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切。