第四章三角形微专题五大常考全等模型综合提升1.如图，在正方形ABCD中，边长为4，点E、F分别是边DC、BC上一点，AE＝EC＋AB，∠EAF＝45°，将△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，则△AEF的面积为()第1题图A.B.C.D.2.在矩形ABCD中，已知AD>AB，在边AD上取点E，使AE＝AB，连接CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F.猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为________．探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G，判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明．应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．第2题图3.(2019绥化)如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N.(1)求证：MN＝MC；(2)若DM∶DB＝2∶5，求证：AN＝4BN；(3)如图②，连接NC交BD于点G.若BG∶MG＝3∶5，求NG·CG的值．第3题图参考答案综合提升1.D【解析】设DE＝m，则EC＝4－m，∵AE＝EC＋AB，∴AE＝8－m，在Rt△ADE中，由勾股定理得(8－m)2＝42＋m2，解得m＝3，∴EC＝1，由旋转性质得，BG＝DE，∠DAE＝∠BAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAE＋∠BAF＝45°，∴∠GAF＝∠BAG＋∠BAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF，∴△EAF≌△GAF，∴EF＝FG，设BF＝n，则CF＝4－n，∴EF＝FG＝3＋n，在Rt△ECF中，由勾股定理得(3＋n)2＝12＋(4－n)2，解得n＝，∴FG＝3＋＝，∴S△EAF＝S△FAG＝FG·AB＝.2.解：猜想：AF＝DE.【解法提示】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∴∠AEF＋∠AFE＝90°，∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC，∵AE＝AB＝CD，∴△AEF≌△DCE(AAS)，∴AF＝DE.探究：AF＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，∴∠AEF＋AFE＝90°，∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC，∵AE＝AB，∴AE＝CD，∴△AEF≌△DCE(AAS)，∴AF＝DE.应用：∵四边形ABCD是矩形，∴∠FBG＝∠A＝90°，∵∠F＝∠F，∴△FBG∽△FAE，∴＝，∵AB＝2，AD＝5，∴AE＝AB＝2，DE＝AD－AE＝3，∴FA＝DE＝3，BF＝1，∴BG＝×AE＝×2＝.3.(1)证明：如解图①，过点M分别作ME⊥BC于点E，MF⊥AB于点F，第3题解图①则四边形BEMF是正方形，∴ME＝MF.∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∵∠FME＝90°，∴∠CME＋∠NME＝∠FMN＋∠NME，即∠CME＝∠FMN.∴△MFN≌△MEC(ASA)．∴MN＝MC；(2)证明：由(1)得FM∥AD，EM∥CD，∴＝＝＝.∴＝＝.∴AF＝2.4，CE＝2.4.∵△MFN≌△MEC，∴FN＝EC＝2.4，∴AN＝4.8，BN＝6－4.8＝1.2，∴AN＝4BN；(3)解：如解图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH.第3题解图②∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH.∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵MC＝MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三角形．∴∠MCN＝45°.∴∠NCH＝∠MCH－∠MCN＝45°.∴△MCG≌△HCG.∴MG＝HG.∵BG∶MG＝3∶5，∴设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝＝4a，则MD＝4a，∵AB＝6，∴BD＝6.∴DM＋MG＋BG＝12a＝6.∴a＝.∴BG＝，MG＝.∵∠MGC＝∠NGB，∠MCG＝∠NBG＝45°，∴△MGC∽△NGB.∴＝.∴NG·CG＝BG·MG＝.