考点30空间向量与立体几何【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019常州期末）如图，在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四棱锥PABCD的高OP＝2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB＝，点M是棱PC的中点．(1)求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；(2)求二面角APBC的余弦值．2、(2019镇江期末）在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中点．(1)求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1DC1A1的余弦值．3、(2019扬州期末）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，又AE⊥平面ABD.(1)若AE＝，求直线DE与直线BC所成角的大小；(2)若二面角ABED的大小为，求AE的长度．4、(2018镇江期末）如图，AC⊥BC，O为AB中点，且DC⊥平面ABC，DC∥BE.已知AC＝BC＝DC＝BE＝2.(1)求直线AD与CE所成角；(2)求二面角OCEB的余弦值．5、(2018苏北四市期末）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以{FA，FB，FG}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2)求二面角FBC1C的余弦值．【问题探究，变式训练】题型一异面直线所成的角以及直线与平面所成的角知识点拨：异面直线所成的角或者直线与平面所成的角是通过研究直线的方向向量和平面的法向量的所成的角，因此，要特别注意所求的角与已求的角之间的关系。例1、(2019南京学情调研）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD的边长AB＝3，侧棱AA1＝2，E是棱CC1的中点，点F满足AF＝2FB.(1)求异面直线FE和DB1所成角的余弦值；(2)记二面角EB1FA的大小为θ，求|cosθ|.【变式1】(2019南京、盐城一模）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．(1)求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2)求二面角BECD的余弦值．【变式2】(2019宿迁市直学校期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，BB1＝2，点D在棱BB1上，且C1D⊥AB1.(1)求线段B1D的长；(2)求二面角DA1CC1的余弦值．【变式3】(2019苏北三市期末）如图，在三棱锥DABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点．(1)求异面直线AE与BC所成角的余弦值；(2)求二面角ACEB的余弦值．【变式4】(2018南京学情调研）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1.(1)若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；(2)求二面角BPDA的余弦值．【变式5】(2018南京、盐城一模）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC＝4，BD＝2，OP＝4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值；(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．【变式6】(2018苏锡常镇调研（一））如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD，PD＝AD＝2AB，点Q为线段PA(不含端点)上一点．(1)当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；(2)已知二面角QBDP的正弦值为，求的值．【变式7】(2017南通一调）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1(λ≠0)．(1)若λ＝，求AP与AQ所成角的余弦值；(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．题型二平面与平面所成的角知识点拨：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据观察判断向量在图形中的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．例2、(2019苏州期初调研）已知直三棱柱ABCA1B1C1，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1.现以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示．(1)求AA1的长度；(2)若BP＝1，求二面角PA1CA的正弦值．【变式1】(2019泰州期末）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．【变式2】(2019苏州期末）如图，四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，PA与平面PBC所成角...