第十一节数学建模—微分方程的应用举例微分方程在几何、力学和物理等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程在实际应用中的几个实例.读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.分布图示★衰变问题★追迹问题★自由落体问题★弹簧振动问题★串联电路问题★返回内容要点(1)衰变问题(2)追迹问题(3)自由落体问题(4)弹簧振动问题(5)串联电路问题例题选讲衰变问题例1（E01）镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变.根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻的质量.tdxxx在时刻的衰变速度，的质量，则依题意解用表示表示该放射性物质在时刻ttdtdx??kx.k?0是比例常数，称为衰(1)它就是放射性元素衰变的数学模型，其中得dtx减少..方程右端的负号表示当时间增加时，质量变常数，因元素的不同而异t?kt?kt,xx?t?tCe?.xx?Ce中可若已知当的通解为易求出方程(1)代入通解时，00?k(t?ktt),xe?C,?xxe它反映了某种放射性元素衰变的规律.则可得到特解得0000注：物理学中，我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时238U)(的半衰期约为50不同物质的半衰期差别极大间为半衰期，.如铀的普通同位素亿年；226230)Ra(Ra半衰.小时1的半衰期仅为年，而镭的另一同位素1600的半衰期为通常的镭226Ra衰变成期是上述放射性物质的特征，然而半衰期却不依赖于该物质的初始质量，一克226Ra年，正是这种事实衰变成半吨所需要的时间同样都是半克所需要的时间与一吨1600.才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳－14测验的基础追迹问题的直线以等速点沿垂直于OA,乙从A（E02）设开始时甲、乙水平距离为1单位例2v0,.求追迹曲线方程,始终对准乙以的速度追赶向正北行走；甲从乙的左侧O点出发)1nv(n?0.被甲追到并问乙行多远时,),x,yx?y().P(y,t乙在甲在追迹曲线上的点为解设所求追迹曲线方程为经过时刻yvt?0??).t1B(,v.ytan??(1)点于是0x1?OP由题设，曲线的弧长为x2??,ytdx?nv1?00,tv代入解出(1)，得01x2???.?dx?yy?1(1?x)yn0整理得12???.?yy1?(1?x)追迹问题的数学模型n????,?p(x),yyp?则方程化为设1dxdp2?或p1?(1?x)p?,?n)xn(1?2p1?两边积分，得C1221.p?p?1?|,ln|)p??1?|lnCx|??ln(p1?即1nnx?1?0?py?.C?1将初始条件于是代入上式，得10x??x012??,?1y?y?(2)nx?12??,?1yy?并化简得两边同乘2??n1?x,y1y????(3)式相加得式与(3)(2)??11?n,?1?x?y????2nx?1??1n?1?n??n1n.?C?x)y??(1?x)?(1nn两边积分得??21n?1?2n??n0y?,C?得代入初始条件故所求追迹曲线为220x?1n?11n?n???n1nn),?1)?(n?(1?x)y??(1?xnn??21n?1n?21n???22.)?1?n(nyn(n?1),x1?AP个单此时的横坐标即乙行走至离甲追到乙时，即点点位距离时被甲追到.自由落体问题例3（E03）一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由静止开始落向地面.求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).y轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点取连结地球中心与该物体的直线为解m,,RO物体开始下落时与地球中心的距离为设地球的半径为).物体的质量为(如图dyt.)?v(t),(ty?y),?Rl(l由万有引力定律得微分物体所在位置为于是速度为在时刻dt22ykMykmMddm??,??,kM为引力常数其中方程.为地球的质量，即2222dtydty2yd??gyRy?轴的方向相反时，).因为当(取负号是因此时加速度的方向与2dtkM2,?gR,g?kM2R22gRyd??0,y.y?l代入得到初始条件为,??220tt?0?dtydy?v,得先求物体到达地面时的速度.由dt2ydvdvddydv????v,2dtdydtdydt代入并分离变量得22gR2gR2?C.v?dyvdv??12yy2把初始条件代入上式，得于是,gRl??2C1????111122????.g?v??R2??2gRv????lyly????y?R,就得到物体到达地面时得速度为式中令2gR(l?R).??vl.再求物体落到地面所需的时间??dy11??,g?v??R2?,ly???0t?dtyl??1ly分离变量得.dt??dyR2gl?yy?l,得由条件.?0C20?t??yl1??2.t?cosyly??larc??R2gl??y?R,便得到物体到达地面所需得时间为在上式中令??R1l??2.arccos?lRt??Rl??lg2R??弹簧振动问题例4（E04）设有一个弹簧,它的一端固定,另一端系有质量为m的物体,物体受力作用沿x轴运动,其平衡位置取为坐标原点(图12-11-3)....
