抛物线讲义知识点一．抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离______的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的________，直线叫做抛物线的________。注：当定点在定直线时，动点的轨迹：_____________________。知识点二：抛物线的标准方程和几何性质题型一：抛物线的定义及其应用1．抛物线的离心率=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离。2．焦半径或在解题中有重要作用，注意灵活运用。例1、若动点到定点的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是（）A.抛物线B.线段C.直线D.射线变式：已知抛物线上一点，为焦点，则以为直径的圆与轴的位置关系是__________.例2：设是抛物线上的一个动点．标准方程图形性质对称轴轴轴轴轴焦点坐标准线方程焦半径范围顶点离心率(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；(2)若，求的最小值．变式：(2011·山东高考)设为抛物线：上一点，为抛物线的焦点，以为圆心、为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（）A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)题型二：抛物线的标准方程与几何性质：求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离的值.焦点在轴上的抛物线方程为_______________________；焦点在轴上的抛物线方程为_______________________.注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。例1：已知抛物线的焦点为，则它的标准方程为__________,准线方程为____________.例2：抛物线的准线方程为，则_________.变式1：已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为_________________.变式2：已知抛物线，求它的焦点坐标及值.变式3：在抛物线上，与焦点的距离等于9的点的坐标为_____________.变式4：已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为___________.变式5：已知抛物线顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上的点到焦点的距离等于17，求抛物线的方程.例3：已知如图所示，抛物线的焦点为，在抛物线上，其横坐标为4，且位于轴上方，到抛物线准线的距离等于5，过作垂直于轴，垂足为，的中点为。（1）求抛物线方程；（2）过作，垂足为，求点的坐标。变式1、抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线与抛物线交于、两点，交准线于点，点在轴上方，，垂足为，若＝，且，则的面积是()A．4B．C．D．8变式2、过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且则此抛物线的方程为()A．B．C．D．典例：点的轨迹：例1：已知点到点的距离比它到直线的距离小1，求点的轨迹方程.变式：已知圆与定直线，动圆和圆外切并与直线相切，求动圆的圆心的轨迹方程.例2：已知点，动点满足，求点的轨迹方程.变式：已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，求动点的轨迹方程.例3：已知点，点是抛物线上的一个动点，求线段的中点的轨迹方程.题型三：直线与抛物线的位置关系1.直线与抛物线的位置关系设抛物线方程为,直线,将直线方程与抛物线方程联立,消去得到关于的方程(1)若,当⊿＞0时,直线与抛物线有两个公共点；当⊿=0时,直线与抛物线只有一个公共点；当⊿＜0时,直线与抛物线没有公共点.(2)若,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行.2.弦长公式：(1)一般公式：（2）焦点弦：已知是过抛物线的焦点的弦,为抛物线的焦点，设，，则（1），·=；（2）（3）；（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。3.中点弦问题：方法一用“设而不求”法求中点弦方程，充分利用了弦中点坐标和弦两端点坐标间的关系；方法二中求中点弦的方法叫做“点差法”，该方法常用来处理中点弦问题.例1：设直线，抛物线，当为何值时，与相切、相交、相离？变式：求过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线方程.例2：设直线与抛物线交于两点，已知弦的长为，求的值.变式1：设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积....