神奇的二次函数-中学数学论文神奇的二次函数胡婧（宜春三中，江西宜春336000）摘要：二次函数是一种特殊的函数，它集很多函数性质于一身，只要学好二次函数，其他的函数就不在话下。如何才能学好二次函数，关键是要抓住它的本质，充分利用抛物线的特点，数形结合，找到最优的解决办法。关键词：高中数学；二次函数；数形结合；灵活性中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-09-0024-01虽然初中已经学过二次函数，但是高中还要继续学习，这并不是简单的重复，而是知识、能力等的升华。一、进一步深入理解函数概念为了帮助学生更好的理解函数解析式，不妨告诉他们，解析式指明机器的加工流程，“（）”中是放入的原材料，等号右边是加工所得的产品。无论放入什么原材料，加工程序都是一样的，但产品可能会随着材料而改变——这就是函数的本质。在学生掌握函数的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：类型1：已知f(x)=2x2+x+2，求f(x+1)。从条件可知，此机器的加工流程是原材料的平方的两倍加上它本身再加2，而所求的是当原材料是x+1时的产品，显然应该是(x+1)2+(x+1)+2。类型2：设f(x+1)=x2－4x+1,求f(x)。这个题目由条件无法看出加工流程，但能知道，当原材料是x+1时，产品是x2－4x+1，对于这种题目，一般有两种处理方法：(1)配凑法：即把所给表达式表示成x+1的多项式。f(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，此时就能看出工作流程了（你看出来了吗？）再用x代x+1得f(x)=x2－6x+6(2)换元法：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t=x+1，则x=t-1∴f(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而f(x)=x2－6x+6二、二次函数的单调性，最值与图象类型Ⅲ设f(x)=x2－2x在区间［-1,2］上的单调性和最值。解：f(x)=x2－2x=(x－1)2－1，该抛物线以x=1为对称轴，开口向上，故f(x)在区间〔-1,1〕上是减函数，在区间（1,2〕上是增函数。由于对称轴在区间内，故f(x)min=f(1)=-1。由于-1离对称轴最远，故f(x)max=f(-1)=3。练习如：y=x2－5x-6（-3≤x≤－1），求该函数的单调性和值域。三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维三个一致（二次方程的两根、二次函数图象与x轴交点的横坐标以及二次不等式解集的两个端点三者保持一致），抓住这三者之间的关系，巧妙加以运用，可以将复杂问题转化为简单问题。二次函数的图象抛物线的对称轴是一个非常灵活的知识点，合理使用同样可以简化运算。类型Ⅳ:已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是{x|2＜x＜4}，求cx2+ax+b0的解集。法一：先利用求根公式解出不等式，再分别令两端点等于2和4，找到a、b、c之间的关系，从而求的结果，但这样的运算量较大。法二：利用“三个一致”的特性，把两根2和4直接代入方程ax2+bx+c=0中，找到三个参数之间的关系。法三：与法二相同，将题目直接转化为2和4是方程ax2+bx+2=0的两根，但是不直接代入根，而是借助韦达定理来处理，演示如下：类型V：已知a0，函数f(x)=x2－ax－1在(1,+∞)上是单调递增函数，求a的取值范围。由函数解析式知抛物线的对称轴是x=a2，则该函数的单调增区间是［a2,+∞)，而已知区间是这个区间的子区间，故得a2≤1即a≤2类型VI：已知函数f(x)的定义域是［－1,1］，f(x)=-x2+3，且f(1-a)f(a)，求a的取值范围。此题可以直接利用解析式将不等式变形，但如果能充分关注对称轴，就会发现，只要保证1－aa，同时保证1-a和a均在定义域内即可。二次函数，它有丰富的内涵和外延。研究无止境，希望我能起到抛砖引玉的作用，将来能有更多的同仁一起来关注这个数学精灵——二次函数，继续挖掘更深层次的东西。