aan文都训练2021年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义一、基本概念主讲：汤家凤第一讲行列式定义1逆序—设i,j是一对不等的正整数，如ij，就称(i,j)为一对逆序；定义2逆序数—设i1i2in是1,2,,n的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为(i1i2in)，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列；定义3行列式—称Da11a21a12a22a1na2n称为n阶行列式，规定an1an2annDj1j2(1)jn(j1j2jn)1j12j2a11anj；a12a1n定义4余子式与代数余子式—把行列式a21Da22a2n中元素aij所在的i行元an1an2ann素和j列元素去掉，剩下的n1行和n1列元素根据元素原先的排列次序构成的n1阶行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij，称Aij(1)ijij为元素aij的代数余子式；二、几个特别的高阶行列式a100a1001、对角行列式—形如0a20称为对角行列式，0a20a1a2an；02、上（下）三角行列式—称0a110ana12a22a1na2na11及a2100a220an00为上（下）三角行a11a1200a1nanna11an10an20ann0列式，a22a2na11a22ann，a21a220a11a22ann；M00annan1an2annaaAO3、|A|OBAC|B|，OB|A|AO|B|，CB|A||B|；4、范得蒙行列式—形如V(a1,a2,,an)11a1a2n1n1121an称为n阶范得蒙行列式，n1n且V(a1,a2,,an)11a1a2n1n1121an1激n1n(ainaj)；【注解】V(a1,a2,,an)0的充分必要条件是a1,a2,,an两两不等；三、行列式的运算性质（一）把行列式转化为特别行列式的性质1、行列式与其转置行列式相等，即D2、对调两行（或列）行列式转变符号；DT；3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面；推论1行列式某行（或列）元素全为零，就该行列式为零；推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零；推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零；4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即a11a12a1na11a12a1na11a12a1nai1bi1ai2bi2ainbinai1ai2ainbi1bi2bin；an1an2annan1an2annan1an2ann5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainai1kaj1ai2kaj2ainkajn，其中k为任意常数；aj1aj2ajnaj1aj2ajnan1an2annan1an2ann【例题1】设,,1,2,3为4维列向量,且|A||,1,2,3|4，|B||,1,32,3|21，求|AB|；aaaa3【例题2】用行列式性质1~5运算122123；4825123714【例题3】运算行列式D；592746121a1111【例题4】运算Dn11a21111a311，其中ai0(1in)；111（二）行列式降阶的性质1an6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)，Da1jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,,n)；7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零；【例题1】用行列式按行或列绽开的性质运算321123；24825123714【例题2】设D，求（1）M21M22M23M24；（2）M31M32；59274612四、行列式的应用—克莱姆法就00对方程组0b1b2bna11x1a12x2a1nxna21x1a22x2a2nxnan1x1an2x2annxna11x1a12x2a1nxna21x1a22x2a2nxnan1x1an2x2annxn（I）及（II）其中(II)称为非齐方程组，(I)称为(II)对应的齐次方程组或(II)的导出方程组；Ta11a21令Dan1a12a22an2a1na2n,Dannb1a12b2a22bnan2a1na2n,ann,Dna11a21an1a12a22an2b1b2，其中Dbn称为系数行列式，我们有定理1(I)只有零解的充分必要条件是D0；(I)有非零解（或者(I)有无穷多个解）的充分必要条件是D0；定理2(II)有唯独解的充分必要条件是D0，且xiDi(iD1,2,,n)；当D0时，(II)要么无解，要么有无穷多个解；其次讲矩阵一、基本概念及其运算（一）基本概念1、矩阵—形如a11a21a12a22a1na2n称为m行n列的矩阵，记为A(aij)mn，行数与列am1am2amn数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵；（1）如矩阵中全部元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O；（2）对A(aij)mn，如mn，称A为n阶方阵；（3）称1E为单位矩阵；1（4）对称矩阵—设A(aij)nn，如aija激(i,j1,2,,n)，称A为对称矩阵；（5）转置矩阵—设Aa11a21a12a22a1na2n，记Aa11a12a21a22am1am2，称A为矩阵A的转置矩阵；am1am2amna1na2namn2、同型矩阵及矩阵相等—如两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，如两个矩...